Zadania optymalizacyjne - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $$P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$$ dla każdego $x\in(4,10]$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5.

Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $$V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}$$

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $$V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}$$ dla $h\in(5,+\infty)$.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem $$P(a)=\frac{a^{2}\cdot\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$ dla $a\in\left(0,8\sqrt{3}\,\right]$.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $18$.

a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $P(b)=\dfrac{(18-2b)\cdot\sqrt{18b-81}}{2}$.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $144$ m$^{3}$. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać $9$ metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

-- $100$ zł za $1$ m$^{2}$ dna

-- $75$ zł za $1$ m$^{2}$ ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe $0{,}5$ cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe $0{,}3$ cm każda (zobacz rysunek -- ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię $60$ cm$^{2}$. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $V=2$. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa 2.

• [a)] Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
• [b)] Wykaż, że obwód $L$ takiego trapezu, jako funkcja długości $a$ dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem $L(a)=\dfrac{4a^{2}-8a+8}{a}$.
• [c)] Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $P$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Parabola o równaniu $y=2-\dfrac{1}{2}x^{2}$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punktach $A=(-2,0)$ i $B=(2,0)$. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne $ABCD$, których dłuższą podstawą jest odcinek $AB$, a końce $C$ i $D$ krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość 1. Na bokach $BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$ umieszczone tak, by $|CE|=2|DF|$. Oblicz wartość $x=|DF|$, dla której pole trójkąta $AEF$ jest najmniejsze.

Pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem $$P(a)=\dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$$ dla $a<0$.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną $AB$ tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określona wzorem $$V(a)=6a-\dfrac{1}{8}a^3$$ dla $a\in\left(0,4\sqrt{3}\right)$.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.

Wykaż, że objętość $V$ każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości $R$ promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem $$V(R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(6R^{2}-R^{3}\right)$$

Objętość $V$ ostrosłupa w zależności od długości $R$ promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem $$V(R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(6R^{2}-R^{3}\right)$$ dla $R\in(0,6)$.

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne $ABCDEFGH$, w których odcinek łączący punkt $O$ przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ podstawy $ABCD$ z dowolnym wierzchołkiem podstawy $EFGH$ ma długość $d$ (zobacz rysunek).

Zapisz obliczenia.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne $ABC$ ($|AC|=|BC|$), na których opisano okrąg o promieniu $R=1$. Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$ trójkąta.

a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $x$, wyraża się wzorem $P(x)=(x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}$.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długość odcinka $x$ tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x=|AC|$.

a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem $$P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}$$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa $d$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_{1}$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_{2}$ i promieniu $2x$, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

• rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
• obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu 18;
• punkty: $S$, $S_{1}$, $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Zapisz pole trójkąta $SS_{1}S_{2}$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

• [a)] Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$.
• [b)] Wyznacz dziedzinę funkcji $V$.
• [c)] Oblicz tę wartość $x$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1:2$ oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe $2\pi$. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Suma długości dwóch boków trójkąta równa się $4$, a kąt między tymi bokami ma miarę $120^{\circ}$. Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku równym 2. Na bokach $BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$, różne od wierzchołków kwadratu, takie że $\left|CE\right|=\left|DF\right|=x$. Oblicz wartość $x$, dla której pole trójkąta $AEF$ jest najmniejsze i oblicz to pole.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty,8)$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:

• wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$
• wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią -- odpowiednio -- $Ox$ i $Oy$
• wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$

Pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem $$P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^{2}-56}{x-8}$$ dla $x\in(0,7)$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$, dla których pole czworokąta $OBCD$ jest największe. Zapisz obliczenia.

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej $480$ litrów i nie może przekroczyć $530$ litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji $(480+x)$ litrów dziennie przeciętny koszt $K$ (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy $$K(x)=\frac{22x^2-621{,}5x+23\,430}{480+x},\ \text{gdzie}\ x\in[0,50].$$ Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek). Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x)=x^2$ oraz $g(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+4$. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$.

Oblicz współrzędne punktu $K$, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$ toru od początku $P$) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem $$|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}$$ gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili $t=0$ znajduje się on w punkcie $\mathcal{O}$ oddalonym od szczytu o $4$ km, a położenie $x$ Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością $$x(t)=-t^3+16{,}5t^2+180t \quad \text{dla } t\in[0,\,24]$$ gdzie $x$ jest wyrażone w metrach, a $t$ -- w godzinach.

Oś $\mathcal{O}x$ jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.

Cztery miasta $A$, $B$, $C$ i $D$ znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku $300$ km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$.

Objętość $V$ każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji $$V(c)=c^3-20c^2+128c$$ gdzie $c\in\left[4,\,\dfrac{28}{3}\right]$ jest długością jednej z krawędzi bryły.

Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest najmniejsza. Zapisz obliczenia.

Na rysunku poniżej przedstawiono położenie miejscowości $A$, $B$ i $C$ oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości $A$ do $C$ wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele'' i przemieszczał się z prędkością $4$ km/h. O tej samej godzinie z miejscowości $B$ do $A$ wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze'' i przemieszczał się z prędkością $2$ km/h.

Firma X wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu D, jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący: $$P(Q)=90-0{,}1Q \quad \text{dla } Q\in[0,\,900]$$ gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ -- ilością produktu w tys. sztuk.

Koszty $K$ wytworzenia produktu D zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco: $$K(Q)=0{,}002Q^3+Q^2+29{,}9985Q+50$$ gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł.

Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk. Zapisz obliczenia.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołki $A$ i $B$ leżą na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=\dfrac{9}{x^{4}}$ dla $x\neq 0$. Punkt $C$ ma współrzędne $\left(0,-\dfrac{1}{3}\right)$, a punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem osi $Oy$ (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$, dla których pole trójkąta $ABC$ jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

• [a)] Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$.
• [b)] Wyznacz dziedzinę funkcji $V$.
• [c)] Oblicz tę wartość $x$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.