Planimetria - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\sphericalangle BAD|=60^{\circ}$.
W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: $AGF$ oraz $CEFG$ (zobacz rysunek).

Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $AB$ -- kąt ostry, którego sinus jest równy $\dfrac{1}{4}$.

Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$, który ma większą miarę.

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ jest $3$ razy dłuższy od boku $AC$, a długość boku $BC$ stanowi $\dfrac{4}{5}$ długości boku $AB$. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta $ABC$.

W kratki poniżej wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ oraz $|AC|=16$, $|AD|=6$, $|CD|=14$ i $|BC|=|BD|$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$.

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta $ABC$, w którym $\left|AD\right|=\left|CD\right|=\dfrac{1}{2}\left|BC\right|$ (zobacz rysunek). Okrąg o środku $C$ i promieniu $CD$ jest styczny do prostej $AB$. Okrąg ten przecina boki $AC$ i $BC$ trójkąta odpowiednio w punktach $K$ i $L$.

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $\left|AB\right|=2$, $\left|BC\right|=3$, $\left|CD\right|=4$, $\left|DA\right|=5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

Dane są trzy okręgi o środkach $A$, $B$, $C$ i promieniach równych odpowiednio $r$, $2r$, $3r$. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie $K$, drugi z trzecim w punkcie $L$ i trzeci z pierwszym w punkcie $M$. Oblicz stosunek pola trójkąta $KLM$ do pola trójkąta $ABC$.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\left|AC\right|=17$ i $\left|BC\right|=10$. Na boku $AB$ leży punkt $D$ taki, że $\left|AD\right|:\left|DB\right|=3:4$ oraz $\left|DC\right|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $\left|AB\right|=a$, $\left|BC\right|=b$ i $a>b$. Odcinek $AE$ jest wysokością trójkąta $DAB$ opuszczoną na jego bok $BD$. Wyraź pole trójkąta $AED$ za pomocą $a$ i $b$.

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość 8 oraz $|\sphericalangle BAC|=30^{\circ}$. Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg jest równe $18$. Boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe, a ponadto $|AB|=4$ oraz $|BC|=7$.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.

Na czworokącie wypukłym $ABCD$ o bokach długości: $|AB|=3$, $|BC|=3$, $|CD|=5$ oraz $|DA|=8$, opisano okrąg.

Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa 6. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.

Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $4$. Kąty $BAD$ i $BCD$ są proste (zobacz rysunek). Przekątne $AC$ i $BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$ tak, że $|BE|=3\cdot|DE|$ oraz $|BD|=2\cdot|AE|$.

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach $5$ i $8$ jest równe $12$. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Na okręgu jest opisany czworokąt $ABCD$. Bok $AD$ tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku $AB$, a przekątna $BD$ ma długość równą $6$. Ponadto spełnione są następujące warunki: $$\cos(\sphericalangle ADB)=\frac{7}{8},\qquad |\sphericalangle BCD|=90^{\circ}\qquad\text{oraz}\qquad |AB|>\sqrt{15}.$$ Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Dany jest romb $ABCD$. Przez wierzchołki $B$ i $D$ poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki $CD$ i $AB$ -- odpowiednio -- w punktach $M$ i $N$, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury $AND$, $NBMD$, $BCM$ o równych polach. Ponadto wiadomo, że $|MB|=|ND|=|BD|$ (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest o $2^{\circ}$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+2)$-kąta foremnego. Oblicz $n$.

Trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $BC$ ma długość 10, a ramię $AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $AB$ jest 2 razy dłuższa od podstawy $CD$. Oblicz pole tego trapezu.

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$.

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ dane są: $\left|AD\right|=6$, $\left|BC\right|=12$, $\left|AC\right|=10$ oraz $\left|\sphericalangle ABC\right|=\left|\sphericalangle CAD\right|$ (zobacz rysunek).

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

W czworokąt $ABCD$, w którym $|AD|=5\sqrt{3}$ i $|CD|=6$, można wpisać okrąg. Przekątna $BD$ tworzy z bokiem $AB$ czworokąta kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $AD$ tworzy kąt, którego sinus jest równy $\frac{3}{4}$. Wyznacz długości boków $AB$ i $BC$ oraz długość przekątnej $BD$ tego czworokąta.

W równoległoboku $ABCD$ miara kąta ostrego jest równa $30^{\circ}$, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe $2$ i $\sqrt{3}$. Oblicz długość krótszej przekątnej tego równoległoboku.

W czworokącie $ABCD$ dane są długości boków: $\left|AB\right|=24$, $\left|CD\right|=15$, $\left|AD\right|=7$. Ponadto kąty $DAB$ oraz $BCD$ są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $\left|AC\right|=5$ i $\left|AB\right|=8$. Pole tego trójkąta jest równe $10\sqrt{3}$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Odcinek $CD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $ACB$ trójkąta $ABC$. Kąty trójkąta $ABC$ mają miary: $|\sphericalangle CAB|=42^{\circ}$, $|\sphericalangle ABC|=78^{\circ}$. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $E$ (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta $CDE$.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ miara kąta $BAC$ jest dwa razy większa od miary kąta $ABC$. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta $ABC$, natomiast $\beta$ -- miarę kąta $ADC$ (zobacz rysunek).

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|>|CD|$ oraz ramię $BC$ ma długość $6$. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu $R=5$. Miary kątów $BAC$ i $ABC$ tego trapezu spełniają warunek $$\frac{\sin|\sphericalangle BAC|}{\sin|\sphericalangle ABC|}=\frac{5}{8}$$ Oblicz pole i obwód trapezu $ABCD$.

Zapisz obliczenia.

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R=5\sqrt{2}$. Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne $BAD$ i $ADC$ czworokąta $ABCD$ są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy $\dfrac{3}{8}$. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $BC$ ma długość 10, a ramię $AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $AB$ jest 2 razy dłuższa od podstawy $CD$. Oblicz pole tego trapezu.

Długości boków prostokąta są równe $3$ oraz $5$. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Punkty $M$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $AC$ trójkąta $ABC$, przy czym zachodzą równości $\left|MB\right|=2\cdot\left|AM\right|$ oraz $\left|LC\right|=3\cdot\left|AL\right|$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia odcinków $BL$ i $CM$. Punkt $K$ jest punktem przecięcia półprostej $AS$ z odcinkiem $BC$ (zobacz rysunek).