Dowody geometryczne - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Punkty $K$ i $L$ są środkami -- odpowiednio -- boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe.
Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach -- odpowiednio -- $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\dfrac{1}{2}$.

Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{1}{5}$.

Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek $$|AC|^{2}=|BC|^{2}+|AB|\cdot|BC|$$

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\sphericalangle ABC|=90^{\circ}$ oraz $|\sphericalangle CAB|=60^{\circ}$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach -- odpowiednio -- $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$.

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o $2$ mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o $3$ mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$.

Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^{2}+|CP|^{2}-|CD|^{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot|DP|\cdot|CP|$.

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty -- odpowiednio -- $D$ i $E$ takie, że $|BD|=|AE|=\dfrac{1}{3}|AB|$. Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|=6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $AC$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $AC$, punkt $L$ leży na boku $BC$, odcinek $KL$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|KC|=|LC|=2$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Na ramieniu $AC$ tego trójkąta wybrano punkt $M$ ($M\neq A$ i $M\neq C$), a na ramieniu $BC$ wybrano punkt $N$, w taki sposób, że $|AM|=|CN|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $AB$ tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$. Udowodnij, że $|ST|=\frac{1}{2}|AB|$.

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_{C}$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{A}$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{C}$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{B}$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek).

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $c$, długość boku $BC$ jest równa $a$ oraz $\left|\sphericalangle ABC\right|=\beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ trójkąta w punkcie $E$. Wykaż, że długość odcinka $BE$ jest równa $\dfrac{2ac\cdot\cos\dfrac{\beta}{2}}{a+c}$.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Okrąg wpisany w trójkąt $BCD$ jest styczny do przekątnej $BD$ w punkcie $N$. Okrąg wpisany w trójkąt $ABD$ jest styczny do boku $AD$ w punkcie $M$, a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $MN$, jak na rysunku.

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$, $Q$, $R$, $S$ (zobacz rysunek).

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Kąty wewnętrzne $CAB$, $ABC$ i $BCA$ tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych $ASB$, $ASC$ i $BSC$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu o promieniu $r$. Wykaż, że $4r^2=\left|AB\right|\cdot\left|CD\right|$.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$ niebędący równoległobokiem. Punkty $M$, $N$ są odpowiednio środkami boków $AB$ i $CD$. Punkty $P$, $Q$ są odpowiednio środkami przekątnych $AC$ i $BD$. Uzasadnij, że $MQ\parallel PN$.

Na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano kwadraty $CDEF$ i $BCGH$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że $|AC|=|FG|$.

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Prosta $p$ jest prostopadła do boku $BC$ i przecina ten bok w punkcie $L$. Ta prosta przecina wysokość $CD$ w punkcie $K$ oraz przecina bok $AC$ w punkcie różnym od $A$.

Wykaż, że $|\sphericalangle CAK|=|\sphericalangle KDL|$.

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB|=2\cdot|AD|$. Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ oraz $DA$ tego prostokąta obrano punkty -- odpowiednio -- $K$, $L$, $M$ oraz $N$ (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta $ABCD$). Czworokąt $KLMN$ jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość $LM$ tego trapezu jest równoległa do przekątnej $BD$ prostokąta.

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe $a$ oraz $b$, przy czym $a>b$. W ten trapez można wpisać okrąg.

Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od $a\cdot b$.

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach -- odpowiednio -- $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek).

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przez punkt $O$ przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków $BC$ i $AD$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina bok $AB$ w punkcie $B'$, a prosta równoległa do boku $AD$ przecina bok $AB$ w punkcie $A'$. Wykaż, że $|AA'|=|BB'|$.

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano -- odpowiednio -- punkty $G$ i $H$ tak, że $DG\parallel EC$ oraz $FH\parallel EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $FBH$ jest równe $S$, to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$.

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty $A$, $B$, $C$ i $D$. Wykaż, że jeżeli $|\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|$, to $|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle BDC|$.

Dwusieczne kątów $BAD$ i $BCD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $E$, przy czym punkty $B$ i $E$ leżą po przeciwnych stronach prostej $AC$ (zobacz rysunek).

W trójkącie $ABC$ kąt $BAC$ jest dwa razy większy od kąta $ABC$. Wykaż, że prawdziwa jest równość $|BC|^{2}-|AC|^{2}=|AB|\cdot|AC|$.

Miary kątów trójkąta $ABC$ są równe $\alpha=|\sphericalangle BAC|$, $\beta=|\sphericalangle ABC|$ i $\gamma=|\sphericalangle ACB|$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $AS$ i $BS$ przecinają boki $BC$ i $AC$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$ (zobacz rysunek).

W trójkącie $ABC$ kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ ma miarę $50^{\circ}$, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma miarę $60^{\circ}$. Okrąg $o_1$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina boki $AB$ i $AC$ trójkąta odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Okrąg $o_2$ przechodzi przez punkt $B$, przecina okrąg $o_1$ w punkcie $D$ oraz w punkcie $F$ leżącym wewnątrz trójkąta $ABC$. Ponadto okrąg $o_2$ przecina bok $BC$ trójkąta w punkcie $G$.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\left|BC\right|=a$. Z wierzchołka $B$ poprowadzono środkową $BD$ do boku $AC$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $BD$. Przez punkty $A$ i $S$ poprowadzono prostą, która przecięła bok $BC$ w punkcie $P$. Wykaż, że długość odcinka $CP$ jest równa $\dfrac{2}{3}a$.

Na przyprostokątnych $AC$ i $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty $ACDE$ i $BFGC$. Odcinek $AF$ przecina przyprostokątną $BC$ w punkcie $L$, a odcinek $BE$ przecina przyprostokątną $AC$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że $|KC|=|LC|$.

Przekątne trapezu $ABCD$ przecinają się w punkcie $P$. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt $P$, przecina ramiona $AD$ i $BC$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$. Wykaż, że $\left|MP\right|=\left|NP\right|$.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0<|AM|<|AN|<|AB|$.

Wykaż, że jeśli $|AM|=|BN|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki $BC$, $AC$ i $AB$ tego trójkąta w punktach -- odpowiednio -- $K$, $L$ oraz $M$. Punkt $P$ jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach $CLPK$ oraz $BKPM$ można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o obwodzie $l$ i podstawach $AB$ oraz $CD$ takich, że $|AB|>|CD|$. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna $AC$ trapezu ma długość $d$ (zobacz rysunek).

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$. Ramię $BC$ trapezu ma długość $5$. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $2$. Punkt $P$ jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy $AB$ tego trapezu (zobacz rysunek).

Na przeciwprostokątnej $AB$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano kwadrat $ABDE$ (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy $k$.

W trójkącie $ABC$ kąt $BAC$ jest dwa razy większy od kąta $ABC$. Wykaż, że prawdziwa jest równość $|BC|^{2}-|AC|^{2}=|AB|\cdot|AC|$.

Punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ prostokąta $ABCD$, w którym $AB>BC$. Punkt $F$ leży na boku $CD$ tego prostokąta oraz $\sphericalangle AEF=90^{\circ}$. Udowodnij, że $\sphericalangle BAE=\sphericalangle EAF$.

Punkty $P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{23},P_{24}$ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P_{11}P_{22}$ i $P_1P_{16}$.