Pochodna funkcji - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Oblicz granicę $$\lim_{x\to 2^{-}}\ \frac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}}$$ Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{x^{3}-3x+2}{x}$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $2$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.

Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{3x^{2}-2x}{x^{2}+2x+8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P=(x_{0}\,,3)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=81^{\log_{3}x}+\dfrac{2\cdot\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}\cdot x^{2}-6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x)=x^{4}+x^{2}-6x$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^{3}-8}{x-2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 2$. Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu $x=\dfrac{1}{2}$ jest równa

Punkt $P=(10,\,2429)$ leży na paraboli o równaniu $y=2x^{2}+x+2219$. Prosta o równaniu kierunkowym $y=ax+b$ jest styczna do tej paraboli w punkcie $P$. Oblicz współczynnik $b$.

Granica $\lim\limits_{x\to 3^{-}}\dfrac{-x+2}{x^{2}-5x+6}$ jest równa

Styczna do paraboli o równaniu $y=\sqrt{3}x^{2}-1$ w punkcie $P=(x_{0},\, y_{0})$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30^{\circ}$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(1,0)$.

Funkcja $f(x)=\dfrac{3x-1}{x^{2}+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f\left(x\right)=x^3-2x^2+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y=4x$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{ax^2+x}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$.

Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których pochodna funkcji $f$ w punkcie $x=a$ jest równa $\left(-\dfrac{1}{2}a\right)$. Zapisz obliczenia.

Wielomian $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określony wzorem $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, gdzie $a,b,c\in\mathbb{R}$. Liczba $(-2)$ jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ styczna do wykresu wielomianu $f$ w punkcie $A$ o pierwszej współrzędnej równej $(-2)$ przecina ten wykres w punkcie $P=(1,9)$.

Wyznacz wzór wielomianu $f$. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę $$\lim_{x\to 3^{-}}\frac{|x-3|}{x^{2}-9}$$ Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 4$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(x_{0},5)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+9x$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$. Punkt $P=(x_{0}\,,18)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Granica $\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{0{,}5x^2+3{,}5x+6}{-x^2+2x+15}$ jest równa

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^{3}+k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y=-x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

Granica $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^{3}+8}{x^{2}-4}-x\right)$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}+1}$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Pochodna $f'$ tej funkcji jest określona wzorem

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\dfrac{25x^{2}-9}{x^{2}+2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość $f'(10)$ pochodnej tej funkcji dla argumentu 10.

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}$, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$, poprowadzonej w punkcie $A=\left(6,\, \dfrac{36}{5}\right)$ tego wykresu. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x}{2x-8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 4$. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu $x=\sqrt{2}+4$ jest równa

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(-3,-3)$.

Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{3x}{x+1}$ dla każdego $x\in(-1,\,+\infty)$.

Wykaż, że $f$ jest funkcją rosnącą.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+2}+4\log_{\frac{1}{2}}x$ dla każdego $x>0$.

Wykaż, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału $\left[\dfrac{1}{2},\,4\right]$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4+0{,}5\cdot(2x+1)^4$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^6-2x^4-x^3+1$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wykaż, że liczba $5$ należy do zbioru wartości tej funkcji.

Wykaż, że równanie $x^4-7x^3+9x^2+8x-2=0$ ma w przedziale $(-2,\,2)$ co najmniej dwa różne rozwiązania.

Prosta dana równaniem $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^{4}-3x^{3}+x^{2}+x+5$ w punkcie

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}$, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$, poprowadzonej w punkcie $A=\left(6,\dfrac{36}{5}\right)$ tego wykresu. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności, pierwszą i drugą cyfrę po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=x^5+5x-1$

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 4$. Oblicz pochodną funkcji $f$ w punkcie $x=12$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f$, która jest równoległa do prostej $y=4x+7$.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $$f\left(x\right)=\frac{x-8}{x^2+6}$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie $x=\dfrac{1}{2}$.

Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Dana jest parabola o równaniu $y=x^2+1$ i leżący na niej punkt $A$ o współrzędnej $x$ równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie $A$.