Trygonometria - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Rozwiąż równanie $$\sin(6x)-2\sin(2x)=0$$ Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$3\cos^{2}x+\sqrt{3}\sin(2x)-3\sin^{2}x=0$$ w przedziale $[-\pi,\pi]$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin(4x)-\sin(2x)=4\cos^{2}x-3$$ w zbiorze $[0,2\pi]$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)+1$$ Zapisz obliczenia.

Jeżeli $\cos\beta=-\dfrac{1}{3}$ i $\beta\in\left(\pi,\dfrac{3}{2}\pi\right)$, to wartość wyrażenia $\sin\left(\beta-\dfrac{1}{3}\pi\right)$ jest równa

Rozwiąż równanie $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Różnica $\cos^{2}165^{\circ}-\sin^{2}165^{\circ}$ jest równa

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(\cos x-\sin x)$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Rozwiąż równanie $3\cos 2x+10\cos^{2}x=24\sin x-3$ dla $x\in\langle 0,2\pi\rangle$.

Liczba $\cos^{2}105^{\circ}-\sin^{2}105^{\circ}$ jest równa

Rozwiąż równanie $(\cos x)\left[\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right]=\dfrac{1}{2}\sin x$.

Rozwiąż równanie $\sin 6x+\cos 3x=2\sin 3x+1$ w przedziale $\langle 0,\, \pi\rangle$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+3\cos x=-2$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $\dfrac{2\cos x-\sqrt{3}}{\cos^{2}x}<0$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

Równanie $2\sin x+3\cos x=6$ w przedziale $\left(0,2\pi\right)$

Rozwiąż równanie $\sqrt{3}\cdot\cos x=1+\sin x$ w przedziale $\left\langle 0,\,2\pi\right\rangle$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+\cos x+1=0$ dla $x\in\left\langle 0,\,2\pi\right\rangle$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+2=3\cos x$.

Rozwiąż równanie $2\sin^2 x-2\sin^2 x\cos x=1-\cos x$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $2\cos^2 x-5\sin x-4=0$ należące do przedziału $\langle 0,\, 2\pi\rangle$.

Rozwiąż równanie $$\sin x+\sin(2x)-\cos x=\dfrac{1}{2}$$ Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0$$ w przedziale $[0,\pi]$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin(6x)+\sqrt{3}\cdot\sin(5x)+\sin(4x)=0$$ Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin(5x)+\cos x=0$$ w zbiorze $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $\cos(3x)+\sqrt{3}\sin(3x)+1=0$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Rozwiąż równanie $2\cos^{2}x-\cos x=\sin(2x)-\sin x$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

Rozwiąż równanie $4\sin^{3}x+\sin 2x=2\sin^{2}x\cdot(2\cos x+1)$.

Rozwiąż równanie $4\sin 7x\cos 2x=2\sin 9x-1$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Udowodnij, że dla dowolnego kąta $\alpha\in\left(0,\, \dfrac{\pi}{2}\right)$ prawdziwa jest nierówność $$\sin\left(\dfrac{\pi}{12}-\alpha\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{12}+\alpha\right)<\dfrac{1}{4}.$$

Rozwiąż równanie $3\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1$ w przedziale $\langle 0,\, 2\pi\rangle$.

Wartość wyrażenia $\sin^{2}75^{\circ}-\cos^{2}75^{\circ}$ jest równa

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $\left(2\sin x-3\right)\left(2\sin x+1\right)>0$ w przedziale $x\in(0,2\pi)$.

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\dfrac{1}{2}$. Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Dla dowolnego kąta $\alpha$ wartość wyrażenia $\sin\alpha+\sin\left(180^{\circ}-\alpha\right)$ jest równa wartości wyrażenia

Rozwiąż równanie $\left(4\sin^2 x-1\right)\cdot\sin x=\cos^2 x-3\sin^2 x$, dla $x\in\left(-\pi,0\right)$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $-2\sin 3x\ge 1$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

Rozwiąż równanie $2\,\mathrm{tg}\,x\cdot\cos x+1=2\cos x+\mathrm{tg}\,x$ w przedziale $\left\langle 0,\,2\pi\right\rangle$.

Wykaż, że dla dowolnego kąta $\alpha$ prawdziwa jest tożsamość $\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha=\dfrac{1+\cos^{2}2\alpha}{2}$.