Wielomiany - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=4x^{3}-6x^{2}-(5m+1)x-2m$ przez dwumian $x+2$ jest równa $(-30)$.

Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x)\ge 0$.

Wielomian $W(x)=x^{4}+81$ jest podzielny przez

Wielomian $W$ określony wzorem $W(x)=x^{2019}-3x^{2000}+2x+6$

A. jest podzielny przez $(x-1)$ i z dzielenia przez $(x+1)$ daje resztę równą $6$.
B. jest podzielny przez $(x+1)$ i z dzielenia przez $(x-1)$ daje resztę równą $6$.
C. jest podzielny przez $(x-1)$ i jest podzielny przez $(x+1)$.
D. nie jest podzielny ani przez $(x-1)$, ani przez $(x+1)$.

Wielomian określony wzorem $W(x)=2x^{3}+\left(m^{3}+2\right)x^{2}-11x-2(2m+1)$ jest podzielny przez dwumian $(x-2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x+1)$ daje resztę 6. Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x)\leq 0$.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=x^{3}-2x^{2}+ax+\dfrac{3}{4}$ przez dwumian $x-2$ jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika $a$. W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

W rozwinięciu wyrażenia $\left(2\sqrt{3}\,x+4y\right)^{3}$ współczynnik przy iloczynie $xy^{2}$ jest równy

Wielomian $W(x)=6x^{3}+3x^{2}-5x+p$ jest podzielny przez dwumian $x-1$ dla $p$ równego

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c$ jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru $m$, dla których równanie $\left(x^3+2x^2+2x+1\right)\left[x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m\right]=0$ ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

Reszta z dzielenia wielomianu $W\left(x\right)=4x^3-5x^2-23x+m$ przez dwumian $x+1$ jest równa $20$. Oblicz wartość współczynnika $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.

Rozwiąż nierówność $x^4+x^2\ge 2x$.

Wyznacz wartości $a$ i $b$ współczynników wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+1$ wiedząc, że $W(2)=7$ oraz, że reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa 10.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$(x-4)\left[x^2+(m-3)x+m^2-m-6\right]=0$$ ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ oraz $x_3$, spełniające warunek $$x_1\cdot x_2\cdot x_3>x_1^2+x_2^2+x_3^2-5m-51$$

Wynikiem dzielenia wielomianu $5x^{3}-7x^{2}-4x-4$ przez dwumian $x-2$ jest trójmian kwadratowy postaci $ax^{2}+bx+c$.

W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$(x-3)\left(x^{2}+(m-1)x-6m^{2}+2m\right)=0$$ ma dokładnie dwa rozwiązania.

Wielomian $W(x)=x^{3}-x^{2}-x-2$ jest podzielny bez reszty przez wielomian

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Wiadomo, że wielomian $15x^{5}-133x^{4}+383x^{3}-499x^{2}+146x+120$ ma w zbiorze $\left\{\dfrac{7}{6},\ \dfrac{6}{5},\ \dfrac{8}{7},\ \dfrac{9}{5}\right\}$ dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba

Wykaż, że równanie $x^{8}+x^{2}=2\left(x^{4}+x-1\right)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x=1$.

Zbiór $K$ -- to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, dla których wartość liczbowa wyrażenia $\sqrt{x\left(x^2-9\right)}$ jest liczbą rzeczywistą. Zatem

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=6x^{3}+(m+4)x^{2}-2x-1$ przez dwumian $x-m$ jest równa 8. Oblicz wartość $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.

Wielomian $W\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9$ jest kwadratem wielomianu $P\left(x\right)=x^2+cx+d$. Oblicz $a$ oraz $b$.

Wykaż, że nie istnieje wielomian $W\left(x\right)$ stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: $W\left(2\right)=3$ i $W\left(-2\right)=2$.

Dane jest równanie $$(x-6)\cdot\left[(m-2)x^2-4(m+3)x+m+1\right]=0$$ z niewiadomą $x$ i parametrem $m\in\mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zapisz obliczenia.

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu wielomianu $W$ określonego wzorem $$W(x)=\frac{1}{8}x^3-2x^2+\frac{67}{8}x-3$$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wielomian $W$ jest określony wzorem $W(x)=(x-1)(x^2-mx+m-1)$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których wielomian $W$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.

Reszty z dzielenia wielomianu $W(x)=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}$ przez dwumiany $(x-2)$ i $(x-3)$ są odpowiednio równe $(-8)$ oraz $(-18)$. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x-4)$.

Wielomian $W\left(x\right)=2x^3-bx^2-1$ jest podzielny przez dwumian $x+1$. Wynika stąd, że