Ciągi - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą -- w podanej kolejności -- ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x$, $y$ oraz $z$ są -- odpowiednio -- pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_{1}=675$ i $a_{22}=\dfrac{5}{4}a_{23}+\dfrac{1}{5}a_{21}$.

Ciąg $(b_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_{n})$. Ponadto $a_{3}=b_{4}$. Oblicz $b_{1}$.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a_{1},a_{2},a_{3})$ spełniona jest równość $a_{1}+a_{2}+a_{3}=\dfrac{21}{4}$. Wyrazy $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ są -- odpowiednio -- czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_{1}$.

Trzywyrazowy ciąg $(a,\,b,\,c)$ o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $\left(\dfrac{1}{a},\ \dfrac{2}{3b},\ \dfrac{1}{2a+2b+c}\right)$ jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\geq 1$, spełniają układ równań $$\begin{cases}a_{3}+a_{6}=-84\\ a_{4}+a_{7}=168\end{cases}$$ Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_{n}$ jest równa 32769.

Liczby $a$, $b$, $c$ są -- odpowiednio -- pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg $\left(a-2,\,b,\,2c+1\right)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$.

Ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ ma $100$ wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz $\log a_1+\log a_2+\log a_3+\ldots+\log a_{100}=100$. Oblicz $a_1$.

Ciąg liczbowy $\left(a,\,b,\,c\right)$ jest arytmetyczny i $a+b+c=33$, natomiast ciąg $\left(a-1,\,b+5,\,c+19\right)$ jest geometryczny. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

O ciągu $(x_n)$ dla $n\ge 1$ wiadomo, że:

a) ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=3^{x_n}$ dla $n\ge 1$ jest geometryczny o ilorazie $q=27$.

b) $x_1+x_2+\ldots+x_{10}=145$.

Oblicz $x_1$.

O liczbach $a$, $b$, $c$ wiemy, że ciąg $(a,\, b,\, c)$ jest arytmetyczny i $a+c=10$, zaś ciąg $(a+1,\, b+4,\, c+19)$ jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o $4$, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o $1$, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a,b,c)$ jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg $(2a,2b,c+1)$ jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek $c-b=6$.

Oblicz $a$, $b$ oraz $c$. Zapisz obliczenia.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$, określonego dla $n\geq 1$, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{n}=3\cdot a_{n+1}+n^{2}$. Oblicz sumę $a_{1}+a_{2}+a_{3}$.

Dany jest rosnący ciąg geometryczny $\left(a,\, aq,\, aq^{2}\right)$, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz $aq$ tego ciągu.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_{n})$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_{1}$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_{n})$. Wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz $b_{1}$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego $(a_{n})$. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_{n})$ jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Dany jest ciąg $\left(a_{n}\right)$ określony dla każdej liczby całkowitej $n\geq 1$, w którym $a_{4}=4$ oraz dla każdej liczby $n\geq 1$ prawdziwa jest równość $a_{n+1}=a_{n}+n-4$. Oblicz pierwszy wyraz ciągu $\left(a_{n}\right)$ i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest określony wzorem $a_{n+1}=a_n+n-6$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $a_3=-1$. Wyraz $a_2$ jest równy

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.

Liczby $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że prawdziwa jest równość $\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot\ldots\cdot a_{n}}=\sqrt{a_{1}\cdot a_{n}}$.

W ciągu arytmetycznym $\left(a_n\right)$, dla $n\ge 1$, dane są $a_1=-2$ oraz różnica $r=3$. Oblicz największe $n$ takie, że $a_1+a_2+\ldots+a_n<2012$.

Ciąg $\left(a,\, b,\, c\right)$ jest geometryczny. Ciąg $\left(3a+3,\ 2b,\ c-12\right)$ jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny i $a+b+c=26$, zaś ciąg $(a-5,\, b-4,\, c-11)$ jest arytmetyczny. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, spełniają warunek $a_{3}+a_{5}=10$.
Trzywyrazowy ciąg $\left(2a_{1}+4,\ a_{4}-1,\ -\dfrac{1}{8}a_{7}\right)$ jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Czterowyrazowy ciąg $(a,b,c,d)$ jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg $(a+100,\,b,\,c)$ jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu $(a,b,c,d)$.

Dany jest rosnący ciąg geometryczny $\left(a,\,aq,\,aq^{2}\right)$, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz $aq$ tego ciągu.