Stereometria - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt{2}\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\dfrac{5}{9}$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\left(-\dfrac{9}{25}\right)$.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem $$P(a)=\frac{a^{2}\cdot\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek).

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$. Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin\alpha=\dfrac{12}{13}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $AFH$ jest równe $26{,}4$.

Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego $ABCDS$ jest trapez $ABCD$ $(AB\parallel CD)$. Ramiona tego trapezu mają długości $|AD|=10$ i $|BC|=16$, a miara kąta $ABC$ jest równa $30^{\circ}$. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$, taki, że $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{9}{2}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V=\dfrac{1}{3}\pi H\left(r^{2}+rR+R^{2}\right)$, gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw ($r<R$), a $H$ jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość $840\pi$, a $r=6$. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\dfrac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$, tj. długość najkrótszego spośród odcinków $SP$, gdzie $P$ jest punktem płaszczyzny $\pi$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^{\circ}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego $ABCS$, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

W ostrosłupie $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym o boku długości $a$. Krawędź $AS$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka $A$ od ściany $BCS$ jest równa $d$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$. Krawędź $AS$ jest wysokością ostrosłupa oraz $\left|AS\right|=8\sqrt{210}$, $\left|BS\right|=118$, $\left|CS\right|=131$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. W trójkącie równoramiennym $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $|AC|:|AS|=6:5$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $2\alpha$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ ma objętość równą $36\sqrt{3}$. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną $\gamma$, która:

• jest prostopadła do ściany bocznej $CDS$ ostrosłupa
• przechodzi przez środek $K$ krawędzi $AD$ oraz środek $L$ krawędzi $BC$
• przecina krawędź boczną $CS$ w punkcie $M$ oraz krawędź boczną $DS$ w punkcie $N$
• tworzy z płaszczyzną podstawy $ABCD$ kąt o mierze $30^{\circ}$.

Oblicz pole trapezu $KLMN$. Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCD$ o podstawie $ABC$. Płaszczyzna zawierająca krawędź $AB$ podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej $CD$ przecina tę krawędź w punkcie $E$, przy czym $\dfrac{|CE|}{|DE|}=\dfrac{3}{11}$.

Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy $ABC$. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym $24\sqrt{3}$.

Wykaż, że objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określona wzorem $$V(a)=6a-\dfrac{1}{8}a^3$$

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest trapez równoramienny $ABCD$ wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$. Dłuższa podstawa $AB$ trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza -- cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze $2\alpha$ (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia $R$ i miary kąta $\alpha$.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości 6. Na krawędziach bocznych $BS$ i $CS$ wybrano punkty, odpowiednio $D$ i $E$, takie że $|BD|=|CE|$ oraz $|DE|=4$ (zobacz rysunek). Płaszczyzna $ADE$ jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej $BCS$ ostrosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$. Przez wierzchołki $A$ i $C$ oraz środek $K$ krawędzi $BF$ poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną $BH$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest trapez $ABCD$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $8\sqrt{3}$, jest prostopadła do ramienia $BC$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ tego trapezu kąt o mierze $30^{\circ}$. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość $4\sqrt{5}$. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $SD$.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku długości 25. Ściany boczne $ABS$ i $BCS$ mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne $ADS$ i $CDS$ też mają jednakowe pola, każde równe $187{,}5$. Krawędzie boczne $AS$ i $CS$ mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt $ABC$. Kąt nachylenia krawędzi bocznej $AS$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi $AS$ i $BS$ zawartymi w ścianie bocznej $ASB$ tego ostrosłupa (zob. rysunek). Oblicz kosinus tego kąta.

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $\left|AB\right|=30$, $\left|BC\right|=\left|AC\right|=39$ i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka $S$ ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W ostrosłupie trójkątnym $ABCS$ o podstawie $ABC$ i wierzchołku $S$ dane są: $\left|AB\right|=\left|AC\right|=\left|SB\right|=\left|SC\right|=9$ i $\left|AS\right|=\left|BC\right|=8$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $12\sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi\left(\sqrt{3}+1\right)$.

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$. Przez krawędź $BC$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej $SAD$.

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę $\pi$ i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2\alpha$. Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k\cdot P^3\cdot\sin\alpha\cdot\cos(2\alpha)}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik $k$.

Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDE$ punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy $ABCD$ do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy $1:5$. Przez przekątną $AC$ podstawy i środek $S$ krawędzi bocznej $BE$ poprowadzono płaszczyznę.

Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta $BSO$ (w zaokrągleniu do $1^{\circ}$). Zapisz obliczenia.

Wskazówka. Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $CG$ tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).

Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt $S$ pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie $P$ położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości $H_0$ metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy $B$ znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości $H_1$ metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości $H_2$ metrów n.p.m. (zobacz rysunek 1.).

Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia $\alpha$.

Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu $P$ do $B$ na wycinku koła.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 4, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę $\alpha>45^{\circ}$ (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.