Równanie okręgu i geometria analityczna - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\mathcal{O}_{1}$ oraz $\mathcal{O}_{2}$ o równaniach:

• $\mathcal{O}_{1}$: $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5$
• $\mathcal{O}_{2}$: $(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=45$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$. Przez punkt $A=(1,2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach -- odpowiednio -- $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$.

Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^{2}-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

Punkt $A=(-3,2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Pole tego trójkąta jest równe $15$. Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y=x-1$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Prosta przechodząca przez punkty $A=(8,-6)$ i $B=(5,15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O=(0,0)$. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $AB$.

Dane są parabola o równaniu $y=x^{2}$ oraz punkty $A=(0,2)$ i $B=(1,3)$ (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $C$.

a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcję zmiennej $m$.

b) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $ABC$ jest ostrokątny.

Prosta o równaniu $x+y-10=0$ przecina okrąg o równaniu $x^{2}+y^{2}-8x-6y+8=0$ w punktach $K$ i $L$. Punkt $S$ jest środkiem cięciwy $KL$. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku $S$ i skali $k=-3$.

Dane są okręgi o równaniach $x^{2}+y^{2}-12x-8y+43=0$ i $x^{2}+y^{2}-2ax+4y+a^{2}-77=0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Punkt $A=(7,-1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $x^{2}+y^{2}=10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Dane są punkt $B=(-4,7)$ i wektor $\vec{u}=[-3,5]$. Punkt $A$, taki, że $\overrightarrow{AB}=-3\vec{u}$, ma współrzędne

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A=(-5,3)$ i $B=(0,6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x-3y+1=0$.

Punkty $A=(30,32)$ i $B=(0,8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x-y+2=0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $AC$. Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu $y=2x+4$ jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym $A=\left(0,\,2\sqrt{3}\right)$, $B=\left(2,\,0\right)$, a $C$ leży na osi $Ox$. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek $E$.

Prosta o równaniu $3x-4y-36=0$ przecina okrąg o środku $S=\left(3,12\right)$ w punktach $A$ i $B$. Długość odcinka $AB$ jest równa $40$. Wyznacz równanie tego okręgu.

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty $P$ postaci: $P=\left(\dfrac{1}{2}m+\dfrac{5}{2},\ m\right)$, gdzie $m\in\langle -1,\, 7\rangle$. Oblicz najmniejszą i największą wartość $\left|PQ\right|^2$, gdzie $Q=\left(\dfrac{55}{2},\, 0\right)$.

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A=(2,0)$.

Punkt $A=(-2,5)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok $BC$ jest zawarty w prostej o równaniu $y=x+1$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Przeprowadzono prostą równoległą do osi $Ox$, która przecięła wykres tej funkcji w punktach $A$ i $B$. Niech $C=(3,-1)$. Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest większe lub równe 2.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.

Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem $$P(a)=\dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$$

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$ o wierzchołkach $A=(-8,-1)$ i $D=(-13,9)$ oraz środku symetrii $M=\left(-\dfrac{9}{2},1\right)$. Okrąg $\mathcal{O}$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki $AB$ i $BC$ tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $\mathcal{O}$ jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu $\mathcal{O}$. Zapisz obliczenia.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $3x+y+2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=x^{2}-2x-8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\dfrac{1}{2}x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

W okrąg o równaniu $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ wpisano trójkąt $ABC$. Bok $AB$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4x-3y+2=0$. Wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ tak, że $|AD|=4\cdot|DB|$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Sumą wektorów $\vec{a}=\left[2+2m,\ \dfrac{2}{3}n+1\right]$ oraz $\vec{b}=[n+1,\ m+2]$ jest wektor $\vec{c}=[0,0]$. Wynika stąd, że

Dane są okrąg $o_1$ o równaniu $(x-6)^2+(y-4)^2=98$ oraz okrąg $o_2$ o promieniu $2\sqrt{5}$. Środki okręgów $o_1$ i $o_2$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y=-3x-6$, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$. Wyznacz równanie okręgu $o_2$.

Wektory $\vec{a}=[m-2,\,m+2]$ oraz $\vec{b}=\left[m^{1{,}5},\,2^{1{,}5}\right]$ mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Dane są prosta $k$ o równaniu $x-2y=0$ i prosta $l$ o równaniu $2x+y-1=0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y=x+4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu równym $82{,}5$. Przekątna $BD$ tego rombu zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Dane są trzy niewspółliniowe punkty: $A=(1,1)$, $B=(6,3)$, $C=(4,5)$. Ile jest wszystkich punktów $D$ takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach $A$, $B$, $C$, $D$ jest równoległobokiem?

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu 90. Przekątna $BD$ zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$. Wyznacz długość boku tego rombu.

Okrąg o równaniu $(x-3)^{2}+(y+7)^{2}=625$ jest styczny do okręgu o środku $S=(12,5)$ i promieniu $r$. Wynika stąd, że

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $ABC$ leżą na osi $Oy$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $AB$, $BC$ i $CA$ w punktach -- odpowiednio -- $P=(0,10)$, $Q=(8,6)$ i $R=(9,13)$. Oblicz współrzędne wierzchołków $A$, $B$ i $C$ tego trójkąta.

Punkt $P'=(3,-3)$ jest obrazem punktu $P=(1,3)$ w jednokładności o środku w punkcie $S=(-2,12)$. Skala tej jednokładności jest równa

Prosta $l$, na której leży punkt $P=(8,2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej $l$.

Punkty $A=(-7,-2)$ i $B=(4,-7)$ są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego $ABC$, a wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x+19y+52=0$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Prosta o równaniu $y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{61}{14}$ jest styczna od okręgu o środku $S=\left(1,-4\right)$. Wyznacz promień tego okręgu.

Odcinek $AB$ o długości 4 jest zawarty w prostej o równaniu $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$. Symetralna odcinka $AB$ przecina oś $Oy$ w punkcie $P=(0,6)$. Oblicz współrzędne końców odcinka $AB$.

Punkty $A=(2,0)$ i $B=(4,2)$ leżą na okręgu o równaniu $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=10$. Wyznacz na tym okręgu taki punkt $C$, aby trójkąt $ABC$ był trójkątem równoramiennym o podstawie $AB$.

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=\left(0,\, 2\right)$ i $B=\left(2,\, 0\right)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=\left(1,\, a\right)$, gdzie $a>1$. Wyznacz równanie prostej $l$.