Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 13.1: geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.

Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem $$P(a)=\dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$$