Matura rozszerzona czerwiec 2026 (termin dodatkowy): matematyka

Dane są liczby rzeczywiste $a$ oraz $b$: $$a=16^{\frac{1}{2}\cdot\log_4 36-2\cdot\log_4 3}$$ $$b=\log_2 9\cdot\log_3 5\cdot\log_5 8$$ Oblicz wartość ilorazu $\dfrac{a}{2b}$. Wynik zapisz w postaci $3^k$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra $2$
• cyfra $4$ występuje w kodzie dokładnie trzy razy
• cyfra $8$ występuje dokładnie dwa razy
• pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{ax^2+x}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$.

Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których pochodna funkcji $f$ w punkcie $x=a$ jest równa $\left(-\dfrac{1}{2}a\right)$. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$xy+x+y\le x^2+y^2+1$$

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Prosta $p$ jest prostopadła do boku $BC$ i przecina ten bok w punkcie $L$. Ta prosta przecina wysokość $CD$ w punkcie $K$ oraz przecina bok $AC$ w punkcie różnym od $A$.

Wykaż, że $|\sphericalangle CAK|=|\sphericalangle KDL|$.

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$, $\mathcal{P}_3$. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ oraz $\mathcal{P}_3$ do tego supermarketu jest -- odpowiednio -- równy $2:3:4$.
Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:

• $\mathcal{P}_1$ stanowi $10\%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
• $\mathcal{P}_2$ stanowi $12\%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
• $\mathcal{P}_3$ stanowi $15\%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $14$. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $392$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o $4$, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o $1$, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg jest równe $18$. Boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe, a ponadto $|AB|=4$ oraz $|BC|=7$.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin x+\sin(2x)-\cos x=\dfrac{1}{2}$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2+mx+m=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$ spełniające warunek $$x_1^4+x_2^4+4\cdot x_1^3\cdot x_2^3\ge 3$$ Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ ma objętość równą $36\sqrt{3}$. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną $\gamma$, która:

• jest prostopadła do ściany bocznej $CDS$ ostrosłupa
• przechodzi przez środek $K$ krawędzi $AD$ oraz środek $L$ krawędzi $BC$
• przecina krawędź boczną $CS$ w punkcie $M$ oraz krawędź boczną $DS$ w punkcie $N$
• tworzy z płaszczyzną podstawy $ABCD$ kąt o mierze $30^{\circ}$.

Oblicz pole trapezu $KLMN$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.

Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem $$P(a)=\dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$$

Pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem $$P(a)=\dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$$ dla $a<0$.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną $AB$ tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.