Funkcja kwadratowa z parametrem - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m\neq 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $$f(x)=m^2\cdot x^2-2mx-m+1$$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ należące do przedziału $(-2,2)$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=(2-m)x^{2}-2(2m+1)x+m+8$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od 2.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ tego samego znaku, które spełniają warunek $$(x_{1}-x_{2})^{2}\leq 180$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-(3m+1)\cdot x+2m^{2}+m+1=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3\cdot x_{1}\cdot x_{2}\cdot(x_{1}+x_{2}-3)\leq 3m-7$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\neq 2$, dla których równanie $$x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-(m+1)x+m=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunki: $$x_{1}\neq 0,\qquad x_{2}\neq 0\qquad\text{oraz}\qquad \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+2=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian kwadratowy $$4x^{2}-2(m+1)x+m$$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunki: $$x_{1}\neq 0,\qquad x_{2}\neq 0\qquad\text{oraz}\qquad x_{1}+x_{2}\le\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$$

Dane jest równanie kwadratowe $x^{2}-(3m+2)x+2m^{2}+7m-15=0$ z niewiadomą $x$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których różne rozwiązania $x_{1}$ i $x_{2}$ tego równania istnieją i spełniają warunek $$2x_{1}^{2}+5x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}=2.$$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+(m+1)x-m^{2}+1=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ ($x_{1}\neq x_{2}$), spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-7x_{1}x_{2}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=x^{2}+2(m+1)x+6m+1$. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_{1}$, $x_{2}$ tego samego znaku, spełniające warunek $\left|x_{1}-x_{2}\right|<3$.

Liczby $\left(-1\right)$ i $3$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz $\dfrac{f\left(6\right)}{f\left(12\right)}$.

Dany jest trójmian kwadratowy $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+2\left(m-2\right)x-m+4$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$, spełniające warunek $x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa $f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5$ ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ takie, że suma kwadratów odległości punktów $A=\left(x_1,\,0\right)$ i $B=\left(x_2,\,0\right)$ od prostej o równaniu $x+y+1=0$ jest równa $6$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2+2\left(1-m\right)x+m^2-m=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1\cdot x_2\le 6m\le x_1^2+x_2^2$.

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

Oblicz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-\left(m+2\right)x+m+4=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\, x_2$ takie, że $x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$ takie, że $(x_1-x_2)^2<8(m+1)$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2+mx+2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od $2m^2-13$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2+mx+m=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$ spełniające warunek $$x_1^4+x_2^4+4\cdot x_1^3\cdot x_2^3\ge 3$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2+2mx+2m-1=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $$m\left(x_1^2+x_2^2\right)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$(3-m)\cdot x^{2}+(m+1)\cdot x-(m+1)^{2}=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$mx^{2}-(m+1)x-2m+3=0$$ ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunki: $$x_{1}\neq 0,\quad x_{2}\neq 0\quad\text{oraz}\quad \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}<1$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których nierówność $$\left(m^{2}+4m-5\right)\cdot x^{2}+2x>2mx-2$$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Parametr $m$ dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania $$\left(4-m^{2}\right)\cdot x=m^{2}-3m+2$$ z niewiadomą $x$. Wynika stąd, że

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$4x^{2}+(2-4m)\,x+m^{2}-m-2=0$$ ma dwa różne dodatnie rozwiązania $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające nierówność $x_{1}^{\,2}+x_{2}^{\,2}\leq\dfrac{17}{4}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-3mx+(m+1)(2m-1)=0$$ ma dwa różne rozwiązania $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunki: $x_{1}\cdot x_{2}\neq 0$ oraz $0<\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}\leq\dfrac{2}{3}$.

Funkcja kwadratowa $f(x)=-x^{2}+bx+c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_{1}=-1$ i $x_{2}=12$. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}-3mx+2m^{2}+1=0$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty,\, 3)$.

Liczba $m$ jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=\dfrac{m^2+m-6}{m-5}\,x^2-\left(m-2\right)x+m-5$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz całkowite wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+(2m-5)x+2m+3=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ takie, że $$\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}\ge x_{1}^{2}\cdot x_{2}^{2}\ge x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(m+1)x^{2}-3mx+m+1=0$ ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż $2{,}5$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $2x^2+\left(3-2m\right)x-m+1=0$ ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ takie, że $\left|x_1-x_2\right|=3$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $2x^2-\left(m-2\right)x-3m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$, spełniające warunek $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\le 25$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-(m-4)x+m^2-4m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od $2m^3-3$.

Funkcja kwadratowa $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określona wzorem $$f(x)=x^{2}-3x-m^{2}+m+3$$ Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|\leq 12$. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2-(m-4)x+m^2-7m+12=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunek $$x_1^3+x_2^3<5x_1^2\cdot x_2+5x_1\cdot x_2^2$$ Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o $1$. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $x^{2}-2ax+a^{3}-2a=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-3mx+(m+1)(2m-1)=0$$ ma dwa różne rozwiązania $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunki: $x_{1}\cdot x_{2}\neq 0$ oraz $0<\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}\leq\dfrac{2}{3}$.