Logarytmy i funkcja wykładnicza - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $$N(t)=N_{0}\cdot k^{t}\quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$N_{0}$ -- liczebność populacji w chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji,
$k$ -- stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
$t$ -- czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10\,000$, a po dwóch godzinach była równa $15\,625$.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

W chwili początkowej ($t=0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością $$T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right)\cdot k^{-t}+T_{z}\quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$T$ -- temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$t$ -- czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
$T_{p}$ -- temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$T_{z}$ -- temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
$k$ -- stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65\ ^{\circ}\mathrm{C}$.

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że jeżeli $\log_{5}4=a$ oraz $\log_{4}3=b$, to $\log_{12}80=\dfrac{2a+1}{a\cdot(1+b)}$ .

W chwili początkowej ($t=0$) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t\geq 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=81^{\log_{3}x}+\dfrac{2\cdot\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}\cdot x^{2}-6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie $$81^{\log_{3}x}+\frac{2\cdot\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}\cdot x^{2}-6x$$ można równoważnie przekształcić do postaci $x^{4}+x^{2}-6x$.

Liczba $\log_{3}\sqrt{27}-\log_{27}\sqrt{3}$ jest równa

Niech $\log_{2}18=c$. Wykaż, że $\log_{3}4=\dfrac{4}{c-1}$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność: $$\frac{2x-1}{1-x}\le\frac{2+2x}{5x}$$

Dla dowolnych liczb $x>0$, $x\neq 1$, $y>0$, $y\neq 1$ wartość wyrażenia $\left(\log_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot\left(\log_{\frac{1}{y}}x\right)$ jest równa

Dane są liczby: $a=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}$, $b=\dfrac{1}{2\sqrt[4]{8}}$, $c=\sqrt[4]{8}$, $d=\dfrac{2}{\sqrt[4]{8}}$ oraz $k=2^{-\frac{1}{4}}$. Prawdziwa jest równość

Wartość wyrażenia $2\log_{5}10-\dfrac{1}{\log_{20}5}$ jest równa

Punkt $A=(-5,3)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem $f(x)=\dfrac{ax+7}{x+d}$, gdy $x\neq -d$. Oblicz iloraz $\dfrac{d}{a}$. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Liczba $\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^{2}$ jest równa

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których wykresy funkcji $f$ i $g$, określonych wzorami $f(x)=x-2$ oraz $g(x)=5-ax$, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Liczba $\left(3-2\sqrt{3}\right)^3$ jest równa

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\log_2\left(x-p\right)$.

• [a)] Podaj wartość $p$.
• [b)] Narysuj wykres funkcji określonej wzorem $y=\left|f\left(x\right)\right|$.
• [c)] Podaj wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $\left|f\left(x\right)\right|=m$ ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

Dane są liczby rzeczywiste $a$ oraz $b$: $$a=16^{\frac{1}{2}\cdot\log_4 36-2\cdot\log_4 3}$$ $$b=\log_2 9\cdot\log_3 5\cdot\log_5 8$$ Oblicz wartość ilorazu $\dfrac{a}{2b}$. Wynik zapisz w postaci $3^k$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$. Zapisz obliczenia.

W chwili początkowej ($t=0$) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa $m$ związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością $$m(t)=a\cdot 2^{-0{,}05\cdot t}+b \quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$m$ -- masa związku A wyrażona w gramach,
$t$ -- czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili $t=0$),
$a,\,b$ -- współczynniki liczbowe.

Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili $t=0$) była równa $m_{0}$ gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy $t\to\infty$) masa tego związku była równa $\dfrac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).

Dane są liczby $$a=4^{\log_{2}45}\quad\text{oraz}\quad b=\frac{\log_{3}2023}{\log_{9}2023}$$ Oblicz $a-b$.

Wiadomo, że $\log_5 2=a$ i $\log_5 3=b$. Wtedy liczba $\log_{18}40$ jest równa

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $$\frac{3x+1}{2x+1}\le\frac{3x+4}{2x+3}$$

Wartość wyrażenia $\left(\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}\right)^{3}$ jest równa

Niech $\log_{2}9=c$. Wykaż, że $\log_{3}54=\dfrac{3c+2}{c}$.

Wyrażenie $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$ jest równe

Dla pewnych liczb rzeczywistych $a>1$, $b>1$ i $N>1$ jest spełniona równość $$\log_{a^{2}b}N=\frac{3}{20}\cdot\left(\log_{a}N+\log_{b}N\right).$$ Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia $\log_{a}b$.

Niech $L=\log_{\sqrt{2}}2\cdot\log_{2}\sqrt{3}\cdot\log_{\sqrt{3}}4$. Wtedy

Liczba $\log_{4}25+\log_{2}10$ jest równa

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\left|3+5^{3-x}\right|-1$ dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji $y=-x+1$ i $y=\log_2 x$ jest równa

Niech $a=\log_{12}2$. Wykaż, że $\log_6 64=\dfrac{6a}{1-a}$.

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością $$Q(t)=Q_{0}\cdot\beta^{-t}\quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$Q_{0}$ -- ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej ($t=0$) wyrażony w milikulombach
$Q$ -- ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili $t$ (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach
$\beta$ -- stała dodatnia
$t$ -- czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili $t=4$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili $t=6$ s -- ładunek 18 milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili $t=5$ s. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że $$\frac{1}{\log_{2}35+1}+\frac{1}{\log_{7}140-\log_{7}2}+\frac{1}{\log_{5}7+\log_{5}2+1}=1$$

Oblicz $$\frac{\log_3 5\cdot\log_{25}27}{\log_7\sqrt[6]{49}}$$ Zapisz obliczenia.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $$\frac{x-1}{x^2-4}-\frac{1}{2-x}\ge\frac{3}{2+x}+2$$ Zapisz obliczenia.

Dane są liczby $a=\log_2 3$ oraz $b=\log_3 7$.

Wyraź $\log_4 49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$.

Zapisz obliczenia.

Dane są liczby $a=\left(\log_{\sqrt{5}}2\right)\cdot\log_{2}25$ i $b=\dfrac{\log_{5}6}{\log_{5}8}$.

Oblicz $a^{b+1}$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{-3x+41}{x-13}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 13$.

Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi.

Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji $f$. Zapisz obliczenia.

Liczba $\log_{2}9$ jest równa

Niech $L=\log_{\sqrt{2}}2\cdot\log_{2}\sqrt{3}\cdot\log_{\sqrt{3}}4$. Wtedy

Funkcja $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $f\left(x\right)=3^{x-2}+3$. Prosta $l$ ma równanie $y=3{,}3$. Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji $f$ i prosta $l$?