Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 1: logarytmy i funkcja wykładnicza

W chwili początkowej ($t=0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością $$T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right)\cdot k^{-t}+T_{z}\quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$T$ -- temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$t$ -- czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
$T_{p}$ -- temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$T_{z}$ -- temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
$k$ -- stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65\ ^{\circ}\mathrm{C}$.

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.