Matura rozszerzona maj 2024: matematyka

W chwili początkowej ($t=0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością $$T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right)\cdot k^{-t}+T_{z}\quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$T$ -- temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$t$ -- czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
$T_{p}$ -- temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$T_{z}$ -- temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
$k$ -- stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65\ ^{\circ}\mathrm{C}$.

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę $$\lim_{x\to 2^{-}}\ \frac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}}$$ Zapisz obliczenia.

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż $36\%$ tłuszczu, jest równe $0{,}01$. Kontroli poddajemy $10$ losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż $36\%$ tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{x^{3}-3x+2}{x}$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $2$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.

Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że jeżeli $\log_{5}4=a$ oraz $\log_{4}3=b$, to $\log_{12}80=\dfrac{2a+1}{a\cdot(1+b)}$ .

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.

Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x$, $y$ oraz $z$ są -- odpowiednio -- pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek $$|AC|^{2}=|BC|^{2}+|AB|\cdot|BC|$$

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: $AGF$ oraz $CEFG$ (zobacz rysunek).

Rozwiąż równanie $$\sin(4x)-\sin(2x)=4\cos^{2}x-3$$ w zbiorze $[0,2\pi]$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$. Przez punkt $A=(1,2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach -- odpowiednio -- $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$.

Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-(3m+1)\cdot x+2m^{2}+m+1=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3\cdot x_{1}\cdot x_{2}\cdot(x_{1}+x_{2}-3)\leq 3m-7$$ Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem $$P(a)=\frac{a^{2}\cdot\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem $$P(a)=\frac{a^{2}\cdot\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$ dla $a\in\left(0,8\sqrt{3}\,\right]$.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.