Matura rozszerzona maj 2025: matematyka

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $$N(t)=N_{0}\cdot k^{t}\quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$N_{0}$ -- liczebność populacji w chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji,
$k$ -- stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
$t$ -- czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10\,000$, a po dwóch godzinach była równa $15\,625$.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq\dfrac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność $$(a+2b)^{3}>8a^{2}b+16ab^{2}$$

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek -- od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność $$|x-2|-2\cdot|x+3|<-2$$ Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_{1}+a_{3}=20$ i $a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\dfrac{1}{2}$.

Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{1}{5}$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\mathcal{O}_{1}$ oraz $\mathcal{O}_{2}$ o równaniach:

• $\mathcal{O}_{1}$: $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5$
• $\mathcal{O}_{2}$: $(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=45$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$3\cos^{2}x+\sqrt{3}\sin(2x)-3\sin^{2}x=0$$ w przedziale $[-\pi,\pi]$. Zapisz obliczenia.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\left(-\dfrac{9}{25}\right)$.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=(2-m)x^{2}-2(2m+1)x+m+8$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od 2.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ tego samego znaku, które spełniają warunek $$(x_{1}-x_{2})^{2}\leq 180$$ Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5.

Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $$V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}$$

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $$V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}$$ dla $h\in(5,+\infty)$.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.