Matura rozszerzona maj 2026: matematyka

Oblicz granicę $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\dbinom{n+2}{n-1}}{\dfrac{1}{2}n^3-4n+7}$$ Zapisz obliczenia.

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}$$

Punkty $K$ i $L$ są środkami -- odpowiednio -- boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe.
Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach -- odpowiednio -- $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

Rozwiąż nierówność $$|2x-6|-\left|x^2-9\right|<0$$ Zapisz obliczenia.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą -- w podanej kolejności -- ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin(6x)-2\sin(2x)=0$$ Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt{2}\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\dfrac{5}{9}$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m\neq 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $$f(x)=m^2\cdot x^2-2mx-m+1$$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ należące do przedziału $(-2,2)$. Zapisz obliczenia.

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\sphericalangle BAD|=60^{\circ}$.
W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $$P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$$ dla każdego $x\in(4,10]$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.