Dowody algebraiczne - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}$$

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq\dfrac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność $$(a+2b)^{3}>8a^{2}b+16ab^{2}$$

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^{3}-x^{2}y\leq xy^{2}-y^{3}$.

Wykaż, że $x=2$ oraz $y=2$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x>y$, spełniona jest nierówność $$7x^{3}+4x^{2}y\ge y^{3}+2xy^{2}-x^{3}$$

Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają równość $a^{2}+2a=4b^{2}+4b$. Wykaż, że $a=2b$.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$, takich że $x<y$, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$, prawdziwa jest nierówność $\dfrac{x+a}{y+a}+\dfrac{y}{x}>2$.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^{3}m-km^{3}$ jest podzielna przez 6.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^{2}+y^{2}=2$, prawdziwa jest nierówność $x+y\leq 2$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $$x^4-x^2-2x+3>0.$$

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $\left(x+1\right)\dfrac{x}{y}+\left(y+1\right)\dfrac{y}{x}>2$.

Udowodnij, że jeżeli $a+b\ge 0$, to prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$.

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6-2k^4+k^2$ jest podzielna przez 36.

Uzasadnij, że jeżeli $a\ne b$, $a\ne c$, $b\ne c$ i $a+b=2c$, to $\dfrac{a}{a-c}+\dfrac{b}{b-c}=2$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$xy+x+y\le x^2+y^2+1$$

Wykaż, że jeżeli $a=\log_2 14$ oraz $b=\log_{\sqrt{2}} 27$, to $\log_7 54=\dfrac{b+2}{2a-2}$.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ i każdej liczby dodatniej $b$ takich, że $a+b=1$, prawdziwa jest nierówność $$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{a+2b}\geq\frac{4}{3}$$

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność $$a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12$$

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq y$, spełniona jest nierówność $$x^4+y^4>xy\left(x^2+y^2\right)$$

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^{5}-3n^{4}-n+3$ jest podzielne przez 16.

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^{5}-3n^{4}-n+19$ jest podzielne przez 16.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$5x^{2}+y^{2}-4xy+6x+9\geq 0.$$

Wykaż, że dla $a,b,c,d>0$ prawdziwa jest nierówność $\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{c+d}\geq\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$x(x-1)+y(y-1)\ge xy-1.$$

Wykaż, że prawdziwa jest równość $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$.

Uzasadnij, że jeżeli $2a+b\geq 0$, to $2a^{3}+b^{3}\geq 3a^{2}b$.

Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby $1$, $3$, $5$. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy $\dfrac{1}{2}$. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez $24$.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$, $c$ i $d$ prawdziwa jest nierówność $ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}$.

Wykaż, że nierówność $\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4}{2}}\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $a$ i $b$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ oraz dla każdej liczby rzeczywistej $y$, spełniających warunek $x+y\ge 1$, prawdziwa jest nierówność $$x^3+2xy+y^3\ge x^2+xy(x+y)+y^2$$

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez $4$ jest liczbą podzielną przez $36$.

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$.

Wykaż, że układ równań $$4a+4b+4c=80 \qquad (1)$$ $$2ab+2bc+2ca=256 \qquad (2)$$ z niewiadomymi $a$ oraz $b$ ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od $4$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c\in\left[4,\,\dfrac{28}{3}\right]$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^{2}-6xy+3y^{2}-2x-4>0$.

Wykaż, że równanie $x^{8}+x^{2}=2\left(x^{4}+x-1\right)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x=1$.

Dane są liczby $a$, $b$ takie, że $a-b=4$ i $ab=7$. Oblicz $a^3b+ab^3$. Zakoduj w kratkach poniżej kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wykaż, że jeżeli $a>b\ge 1$, to $\dfrac{a}{2+a^3}<\dfrac{b}{2+b^3}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $m$ prawdziwa jest nierówność $$20x^2-24mx+18m^2\ge 4x+12m-5.$$