Informator maturalny CKE (od 2025), zadanie 18.1: dowód algebraiczny

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$.

Wykaż, że układ równań $$4a+4b+4c=80 \qquad (1)$$ $$2ab+2bc+2ca=256 \qquad (2)$$ z niewiadomymi $a$ oraz $b$ ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od $4$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c\in\left[4,\,\dfrac{28}{3}\right]$.