Granica ciągu i szereg geometryczny - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Oblicz granicę $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\dbinom{n+2}{n-1}}{\dfrac{1}{2}n^3-4n+7}$$ Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_{1}+a_{3}=20$ i $a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Określamy kwadraty $K_{1}$, $K_{2}$, $K_{3}$, … następująco:

• $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$
• $K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
• $K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$

• $K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$.

Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ wzorem $a_{n}=\dfrac{(7p-1)n^{3}+5pn-3}{(p+1)n^{3}+n^{2}+p}$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $(a_{n})$ jest równa $\dfrac{4}{3}$.

W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Oblicz granicę $$\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+2)^{2}-(1-2n)^{2}}{(2n-1)^{2}}.$$ W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=\dfrac{3n^{2}+7n-5}{11-5n+5n^{2}}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Granica tego ciągu jest równa

Oblicz granicę $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{9n^{3}+11n^{2}}{7n^{3}+5n^{2}+3n+1}-\frac{n^{2}}{3n^{2}+1}\right).$$ Wpisz w poniższe kratki -- od lewej do prawej -- trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem $a_{n}=\dfrac{\left(n^{2}-10n\right)\left(2-3n\right)}{2n^{3}+n^{2}+3}$ dla $n\geq 1$. Wtedy

Granica $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(pn^{2}+4n\right)^{3}}{5n^{6}-4}=-\dfrac{8}{5}$. Wynika stąd, że

Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ określony wzorem $a_{n}=\left(\dfrac{1}{2x-371}\right)^{n}$ dla $n\geq 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ jest zbieżny.

Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\dfrac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right)$. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $14$. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $392$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu $a_6=15$ oraz $a_{15}=a_3\cdot(a_8-6)$.
Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i $b_1=a_{11}$ oraz $b_2=a_6$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(b_n)$. Zapisz obliczenia.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ o numerach nieparzystych jest równa 16, tj. $$a_{1}+a_{3}+a_{5}+\ldots=16$$ Ponadto $a_{1}+a_{3}=\dfrac{5}{2}\cdot a_{2}$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$--ty wyraz ciągu $(a_{n})$. Zapisz obliczenia.

Dany jest nieskończony szereg geometryczny $$2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18x}{(x-1)^{2}}-\frac{54x}{(x-1)^{3}}+\ \ldots$$ Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $x$ (różnej od $0$ i od $1$), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\dfrac{15}{2}$. Zapisz obliczenia.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $|q|<1$. Stosunek sumy $S_N$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_P$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\dfrac{S_N}{S_P}=S_N-S_P$. Oblicz $q$.

Granice $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^{2}+bn+4}{n+1}$ i $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{an^{2}+bn+4}$ są równe. Stąd wynika, że

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\geq 1$, jest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz ciągu $(a_{n})$.

W kratki poniżej wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych otrzymanego wyniku.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony w następujący sposób: $a_{1}=\dfrac{3}{5}$ oraz $a_{n+1}=\dfrac{2}{3}\cdot a_{n}$ dla $n\geq 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(o_{n})$ o równaniach $x^{2}+y^{2}=2^{11-n}$, $n\geq 1$. Niech $P_{k}$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznym okręgiem $o_{2k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_{k}$, gdzie $k\geq 1$.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\dfrac{1}{4}$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Granica $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{-7n^{3}+3n}{1+2n+3n^{2}+4n^{5}}$ jest równa

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ określony dla $n\geq 1$, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Oblicz granicę $$\lim_{n\to+\infty}\frac{1+3+5+7+\ldots+(2n+1)}{\dbinom{n}{2}}$$ gdzie $1+3+5+7+\ldots+(2n+1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $7$, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $8$.

Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność $$\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0{,}001$$ gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}$. Zapisz obliczenia.

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, jest spełniony warunek $$\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{29}{25}$$ Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa $6$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$--ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $$a_n=(n+5)^2\cdot\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)$$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których granica ciągu $(a_n)$ jest równa $12$. Zapisz obliczenia.

Liczba $x$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Liczba $y$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$. Wynika stąd, że liczba $x-y$ jest równa

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $\left(o_{n}\right)$ o równaniach $x^{2}+y^{2}=2^{11-n}$, $n\geq 1$. Niech $P_{k}$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznym okręgiem $o_{2k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_{k}$, gdzie $k\geq 1$.

Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n^2}{n+2}-\dfrac{\left(n+2\right)^2}{n+444}\right)$.

Niech $P_n$ oznacza pole koła o promieniu $\dfrac{1}{2^n}$, dla $n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $\left(P_n\right)$.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ określony wzorem $$a_n=\frac{3}{\left(\sqrt{2}\right)^{n}}\quad\text{dla } n=1,2,3,\ldots\,.$$ Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Oblicz granicę ciągu $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2-5n+2}{\left(8n+7\right)\left(n+4\right)}$.

Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.