Określamy kwadraty $$K_{1}$$, $$K_{2}$$, $$K_{3}$$, … następująco: $$K_{1}$$ jest kwadratem o boku długości $$a$$ $$K_{2}$$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $$K_{1}$$ i dzieli ten bok w stosunku $$1:3$$ $$K_{3}$$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $$K_{2}$$ i dzieli ten bok w stosunku $$1:3$$ i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $$n\geq 2$$, $$K_{n}$$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $$K_{n-1}$$ i dzieli ten bok w stosunku $$1:3$$. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 10: granica ciągu

Matura rozszerzona maj 2023 · zadanie 10otwarte · 0-4 pktDział: Granica ciągu i szereg geometryczny

Ćwicz dalej🎲Generator zadań CKE605 zadań · 8 losowań za darmo · bez limitu 79 zł Zbiór zadań PDF605 zadań z rozwiązaniami · 99 zł

Zadanie 10. (0–4)[matura rozszerzona maj 2023, arkusz CKE]

Określamy kwadraty $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ , … następująco:

$K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$
$K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
$K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n\geq 2

$K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$ .

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.

Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

✓Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź

✓

ODPOWIEDŹ

L=\dfrac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}{3}\,a

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Obliczamy długość boku kwadratu

K_2

🔒

Krok 2. Wyznaczamy ciąg obwodów i jego iloraz🔒

Krok 3. Obliczamy sumę wszystkich obwodów🔒

Odblokuj rozwiązanie krok po kroku

Zaloguj się (konto Google - jedno kliknięcie) i odblokuj za darmo rozwiązania 8 zadań na 3 dni. Bez limitu - generator zadań: wszystkie kroki tego i 605 innych zadań CKE (matura z matematyki, poziom rozszerzony), z wyjaśnieniami „Dlaczego?" i odwołaniami do karty wzorów, do 31 maja 2027 r.

Zaloguj się i odblokuj za darmo Bez limitu za 79 zł8 darmowych odsłon na 3 dni liczy się razem z losowaniami w generatorze · płatność jednorazowa BLIK-iem, bez subskrypcji

Wolisz uczyć się z PDF-a? Zbiór zadań z rozwiązaniami (605 zadań z rozwiązaniami) za 99 zł, a w pakiecie z generatorem za 149 zł.

Przećwicz podobne zadania w generatorzeLosuj zadania z działu Granica ciągu i szereg geometryczny, sprawdzaj odpowiedzi i wracaj do pomyłek w teczce błędów. Z darmowym kontem masz 8 losowań na 3 dni.

Otwórz generator →