Matura rozszerzona maj 2023: matematyka

W chwili początkowej ($t=0$) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t\geq 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama. Zapisz obliczenia.

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\dfrac{1}{4}$.

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{3x^{2}-2x}{x^{2}+2x+8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P=(x_{0}\,,3)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^{3}-x^{2}y\leq xy^{2}-y^{3}$.

Wykaż, że $x=2$ oraz $y=2$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\sphericalangle ABC|=90^{\circ}$ oraz $|\sphericalangle CAB|=60^{\circ}$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach -- odpowiednio -- $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$.

Rozwiąż równanie $$4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)+1$$ Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek).

Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $AB$ -- kąt ostry, którego sinus jest równy $\dfrac{1}{4}$.

Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność $$\sqrt{x^{2}+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^{2}-6x+9}$$ Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^{2}}=|a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.

Określamy kwadraty $K_{1}$, $K_{2}$, $K_{3}$, … następująco:

• $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$
• $K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
• $K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$

• $K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$.

Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\neq 2$, dla których równanie $$x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=81^{\log_{3}x}+\dfrac{2\cdot\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}\cdot x^{2}-6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie $$81^{\log_{3}x}+\frac{2\cdot\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}\cdot x^{2}-6x$$ można równoważnie przekształcić do postaci $x^{4}+x^{2}-6x$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=81^{\log_{3}x}+\dfrac{2\cdot\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}\cdot x^{2}-6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x)=x^{4}+x^{2}-6x$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^{2}-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{1}{3}$ (zobacz rysunek).