Matura rozszerzona maj 2022: matematyka

Liczba $\log_{3}\sqrt{27}-\log_{27}\sqrt{3}$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^{3}-8}{x-2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 2$. Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu $x=\dfrac{1}{2}$ jest równa

Jeżeli $\cos\beta=-\dfrac{1}{3}$ i $\beta\in\left(\pi,\dfrac{3}{2}\pi\right)$, to wartość wyrażenia $\sin\left(\beta-\dfrac{1}{3}\pi\right)$ jest równa

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku -- jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ wzorem $a_{n}=\dfrac{(7p-1)n^{3}+5pn-3}{(p+1)n^{3}+n^{2}+p}$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $(a_{n})$ jest równa $\dfrac{4}{3}$.

W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x>y$, spełniona jest nierówność $$7x^{3}+4x^{2}y\ge y^{3}+2xy^{2}-x^{3}$$

Rozwiąż równanie: $$|x-3|=2x+11$$

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o $2$ mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o $3$ mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$.

Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^{2}+|CP|^{2}-|CD|^{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot|DP|\cdot|CP|$.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=4x^{3}-6x^{2}-(5m+1)x-2m$ przez dwumian $x+2$ jest równa $(-30)$.

Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x)\ge 0$.

Ciąg $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_{1}=675$ i $a_{22}=\dfrac{5}{4}a_{23}+\dfrac{1}{5}a_{21}$.

Ciąg $(b_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_{n})$. Ponadto $a_{3}=b_{4}$. Oblicz $b_{1}$.

Rozwiąż równanie $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-(m+1)x+m=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunki: $$x_{1}\neq 0,\qquad x_{2}\neq 0\qquad\text{oraz}\qquad \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+2=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$$

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$. Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin\alpha=\dfrac{12}{13}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $AFH$ jest równe $26{,}4$.

Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Punkt $A=(-3,2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Pole tego trójkąta jest równe $15$. Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y=x-1$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $18$.

a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $P(b)=\dfrac{(18-2b)\cdot\sqrt{18b-81}}{2}$.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.