Matura rozszerzona maj 2021: matematyka

Różnica $\cos^{2}165^{\circ}-\sin^{2}165^{\circ}$ jest równa

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Wielomian $W(x)=x^{4}+81$ jest podzielny przez

Liczba różnych pierwiastków równania $3x+|x-4|=0$ jest równa

Oblicz granicę $$\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+2)^{2}-(1-2n)^{2}}{(2n-1)^{2}}.$$ W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Niech $\log_{2}18=c$. Wykaż, że $\log_{3}4=\dfrac{4}{c-1}$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność: $$\frac{2x-1}{1-x}\le\frac{2+2x}{5x}$$

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty -- odpowiednio -- $D$ i $E$ takie, że $|BD|=|AE|=\dfrac{1}{3}|AB|$. Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $15$, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez $18$.

Prosta przechodząca przez punkty $A=(8,-6)$ i $B=(5,15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O=(0,0)$. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $AB$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian kwadratowy $$4x^{2}-2(m+1)x+m$$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunki: $$x_{1}\neq 0,\qquad x_{2}\neq 0\qquad\text{oraz}\qquad x_{1}+x_{2}\le\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$$

Rozwiąż równanie $\cos 2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(\cos x-\sin x)$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$, który ma większą miarę.

Dane są parabola o równaniu $y=x^{2}$ oraz punkty $A=(0,2)$ i $B=(1,3)$ (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $C$.

a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcję zmiennej $m$.

b) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $ABC$ jest ostrokątny.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $144$ m$^{3}$. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać $9$ metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

-- $100$ zł za $1$ m$^{2}$ dna

-- $75$ zł za $1$ m$^{2}$ ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.