Matura rozszerzona czerwiec 2020 (termin główny): matematyka

Wielomian $W$ określony wzorem $W(x)=x^{2019}-3x^{2000}+2x+6$

A. jest podzielny przez $(x-1)$ i z dzielenia przez $(x+1)$ daje resztę równą $6$.
B. jest podzielny przez $(x+1)$ i z dzielenia przez $(x-1)$ daje resztę równą $6$.
C. jest podzielny przez $(x-1)$ i jest podzielny przez $(x+1)$.
D. nie jest podzielny ani przez $(x-1)$, ani przez $(x+1)$.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=\dfrac{3n^{2}+7n-5}{11-5n+5n^{2}}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Granica tego ciągu jest równa

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku -- losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego $\left(x\sqrt{2}+y\sqrt{3}\right)^{4}$ do postaci $ax^{4}+bx^{3}y+cx^{2}y^{2}+dxy^{3}+ey^{4}$ współczynnik $c$ jest równy

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ jest $3$ razy dłuższy od boku $AC$, a długość boku $BC$ stanowi $\dfrac{4}{5}$ długości boku $AB$. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta $ABC$.

W kratki poniżej wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $|x-5|=(a-1)^{2}-4$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|=6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $AC$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $AC$, punkt $L$ leży na boku $BC$, odcinek $KL$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|KC|=|LC|=2$ (zobacz rysunek).

Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają równość $a^{2}+2a=4b^{2}+4b$. Wykaż, że $a=2b$.

Rozwiąż równanie $3\cos 2x+10\cos^{2}x=24\sin x-3$ dla $x\in\langle 0,2\pi\rangle$.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a_{1},a_{2},a_{3})$ spełniona jest równość $a_{1}+a_{2}+a_{3}=\dfrac{21}{4}$. Wyrazy $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ są -- odpowiednio -- czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_{1}$.

Dane jest równanie kwadratowe $x^{2}-(3m+2)x+2m^{2}+7m-15=0$ z niewiadomą $x$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których różne rozwiązania $x_{1}$ i $x_{2}$ tego równania istnieją i spełniają warunek $$2x_{1}^{2}+5x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}=2.$$

Prosta o równaniu $x+y-10=0$ przecina okrąg o równaniu $x^{2}+y^{2}-8x-6y+8=0$ w punktach $K$ i $L$. Punkt $S$ jest środkiem cięciwy $KL$. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku $S$ i skali $k=-3$.

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego $ABCDS$ jest trapez $ABCD$ $(AB\parallel CD)$. Ramiona tego trapezu mają długości $|AD|=10$ i $|BC|=16$, a miara kąta $ABC$ jest równa $30^{\circ}$. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$, taki, że $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{9}{2}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe $0{,}5$ cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe $0{,}3$ cm każda (zobacz rysunek -- ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię $60$ cm$^{2}$. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.