Kombinatoryka - zadania maturalne (poziom rozszerzony)

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego $\left(x\sqrt{2}+y\sqrt{3}\right)^{4}$ do postaci $ax^{4}+bx^{3}y+cx^{2}y^{2}+dxy^{3}+ey^{4}$ współczynnik $c$ jest równy

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry $1$, $2$, $3$, przy czym cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest $15\,360$.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra $0$ i dokładnie raz występuje cyfra $5$.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.

Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra $2$
• cyfra $4$ występuje w kodzie dokładnie trzy razy
• cyfra $8$ występuje dokładnie dwa razy
• pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od $5$.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych. Zapisz obliczenia.

Wśród $n$ osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te $n$ osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest $12$ razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych $n$ osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).

Oblicz $n$. Zapisz obliczenia.

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28.

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 15. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem parku przedstawiono poniżej na rysunku. Tomek znajduje się w punkcie $A$ miasta i chce dojechać samochodem najkrótszą drogą do punktu $B$.

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 13 i żadna cyfra nie jest zerem.

W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.