Informator maturalny CKE (od 2025): matematyka

Dany jest układ równań $$\left\{\begin{array}{l} mx+y=m^2\\[2pt] 4x+my=8 \end{array}\right.\qquad (1)$$ z niewiadomymi $x$ i $y$ oraz parametrem $m\in\mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których układ jest oznaczony, a para liczb $(x,\,y)$ będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek $|x+y|<2$. Zapisz obliczenia.

Dane są liczby $a=\left(\log_{\sqrt{5}}2\right)\cdot\log_{2}25$ i $b=\dfrac{\log_{5}6}{\log_{5}8}$.

Oblicz $a^{b+1}$.

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu wielomianu $W$ określonego wzorem $$W(x)=\frac{1}{8}x^3-2x^2+\frac{67}{8}x-3$$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{-3x+41}{x-13}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 13$.

Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi.

Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji $f$. Zapisz obliczenia.

Wielomian $W$ jest określony wzorem $W(x)=(x-1)(x^2-mx+m-1)$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których wielomian $W$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o $1$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{3x}{x+1}$ dla każdego $x\in(-1,\,+\infty)$.

Wykaż, że $f$ jest funkcją rosnącą.

Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}$. Zapisz obliczenia.

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili $t=0$ znajduje się on w punkcie $\mathcal{O}$ oddalonym od szczytu o $4$ km, a położenie $x$ Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością $$x(t)=-t^3+16{,}5t^2+180t \quad \text{dla } t\in[0,\,24]$$ gdzie $x$ jest wyrażone w metrach, a $t$ -- w godzinach.

Oś $\mathcal{O}x$ jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.

Cztery miasta $A$, $B$, $C$ i $D$ znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku $300$ km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+2}+4\log_{\frac{1}{2}}x$ dla każdego $x>0$.

Wykaż, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału $\left[\dfrac{1}{2},\,4\right]$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4+0{,}5\cdot(2x+1)^4$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, jest spełniony warunek $$\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{29}{25}$$ Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa $6$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$--ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^6-2x^4-x^3+1$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Wykaż, że liczba $5$ należy do zbioru wartości tej funkcji.

Rozwiąż równanie $$(3-2\cos x)^2=8\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-8\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+12$$ w zbiorze $(0,\,\pi)$. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że równanie $x^4-7x^3+9x^2+8x-2=0$ ma w przedziale $(-2,\,2)$ co najmniej dwa różne rozwiązania.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $$a_n=(n+5)^2\cdot\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)$$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których granica ciągu $(a_n)$ jest równa $12$. Zapisz obliczenia.

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$.

Wykaż, że układ równań $$4a+4b+4c=80 \qquad (1)$$ $$2ab+2bc+2ca=256 \qquad (2)$$ z niewiadomymi $a$ oraz $b$ ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od $4$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c\in\left[4,\,\dfrac{28}{3}\right]$.

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$.

Objętość $V$ każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji $$V(c)=c^3-20c^2+128c$$ gdzie $c\in\left[4,\,\dfrac{28}{3}\right]$ jest długością jednej z krawędzi bryły.

Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest najmniejsza. Zapisz obliczenia.

Na rysunku poniżej przedstawiono położenie miejscowości $A$, $B$ i $C$ oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości $A$ do $C$ wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele'' i przemieszczał się z prędkością $4$ km/h. O tej samej godzinie z miejscowości $B$ do $A$ wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze'' i przemieszczał się z prędkością $2$ km/h.

Firma X wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu D, jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący: $$P(Q)=90-0{,}1Q \quad \text{dla } Q\in[0,\,900]$$ gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ -- ilością produktu w tys. sztuk.

Koszty $K$ wytworzenia produktu D zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco: $$K(Q)=0{,}002Q^3+Q^2+29{,}9985Q+50$$ gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł.

Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk. Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDE$ punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy $ABCD$ do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy $1:5$. Przez przekątną $AC$ podstawy i środek $S$ krawędzi bocznej $BE$ poprowadzono płaszczyznę.

Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta $BSO$ (w zaokrągleniu do $1^{\circ}$). Zapisz obliczenia.

Wskazówka. Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ proste o równaniach $2x+y-4m-4=0$ oraz $x-3y+5m+5=0$ przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych $(x_P,\,y_P)$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których współrzędne punktu $P$ spełniają warunki: $$x_P>0, \quad y_P>0, \quad y_P\ge x_P^2 \quad \text{oraz} \quad 2<-\frac{8}{(y_P)^2}+\frac{8}{x_P}\,.$$ Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ trapez $ABCD$ jest wpisany w okrąg o środku w punkcie $S=(19,\,-11)$ i promieniu $17\sqrt{2}$. Wierzchołek $A$ trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek $AB$ jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna $AC$ trapezu $ABCD$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=x$.

Oblicz sinus kąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem takim, że $\vec{BD}=[-21,\,-7]$ i $\vec{DC}=[15,\,8]$.

Oblicz pole tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $CG$ tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$. Ramię $BC$ trapezu ma długość $5$. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $2$. Punkt $P$ jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy $AB$ tego trapezu (zobacz rysunek).

Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt $S$ pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie $P$ położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości $H_0$ metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy $B$ znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości $H_1$ metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości $H_2$ metrów n.p.m. (zobacz rysunek 1.).

Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia $\alpha$.

Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu $P$ do $B$ na wycinku koła.

Niech $n$ będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru $\mathbb{M}=\{1;\,2;\,3;\,\ldots;\,3n+1\}$ losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie $A$ odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru $\mathbb{M}$ trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. Zapisz obliczenia.

Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że $40\%$ rozegranych z synem partii wygrywa.

Oblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od $0{,}95$. Zapisz obliczenia.

Pewna choroba dotyka $0{,}2\%$ całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe $0{,}99$. Ponadto wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe $0{,}98$.

Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie choroby.

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest rzeczywiście chory. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem parku przedstawiono poniżej na rysunku. Tomek znajduje się w punkcie $A$ miasta i chce dojechać samochodem najkrótszą drogą do punktu $B$.