Informator maturalny CKE (od 2025), zadanie 9: optymalizacja

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili $t=0$ znajduje się on w punkcie $\mathcal{O}$ oddalonym od szczytu o $4$ km, a położenie $x$ Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością $$x(t)=-t^3+16{,}5t^2+180t \quad \text{dla } t\in[0,\,24]$$ gdzie $x$ jest wyrażone w metrach, a $t$ -- w godzinach.

Oś $\mathcal{O}x$ jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.

Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.