Matura próbna CKE marzec 2021: matematyka

Liczba $\log_{2}9$ jest równa

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest 10 kul: 8 białych i 2 czarne, w drugiej jest 8 kul: 5 białych i 3 czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Prosta dana równaniem $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^{4}-3x^{3}+x^{2}+x+5$ w punkcie

Liczba $x$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Liczba $y$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$. Wynika stąd, że liczba $x-y$ jest równa

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 13 i żadna cyfra nie jest zerem.

W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^{2}-6xy+3y^{2}-2x-4>0$.

Rozwiąż równanie: $$\sin\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)\cdot\cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Na przeciwprostokątnej $AB$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano kwadrat $ABDE$ (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy $k$.

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R=5\sqrt{2}$. Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne $BAD$ i $ADC$ czworokąta $ABCD$ są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy $\dfrac{3}{8}$. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Reszty z dzielenia wielomianu $W(x)=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}$ przez dwumiany $(x-2)$ i $(x-3)$ są odpowiednio równe $(-8)$ oraz $(-18)$. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x-4)$.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 4, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).

Czterowyrazowy ciąg $(a,b,c,d)$ jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg $(a+100,\,b,\,c)$ jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu $(a,b,c,d)$.

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y=x+b$, $y=x+2b$, $y=b$, $y=2$, gdzie liczba rzeczywista $b$ spełnia warunki: $b\neq 2$ i $b\neq 0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$, dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $x^{2}-2ax+a^{3}-2a=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołki $A$ i $B$ leżą na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=\dfrac{9}{x^{4}}$ dla $x\neq 0$. Punkt $C$ ma współrzędne $\left(0,-\dfrac{1}{3}\right)$, a punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem osi $Oy$ (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$, dla których pole trójkąta $ABC$ jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.