Matura próbna CKE kwiecień 2020: matematyka

Niech $L=\log_{\sqrt{2}}2\cdot\log_{2}\sqrt{3}\cdot\log_{\sqrt{3}}4$. Wtedy

Okrąg o równaniu $(x-3)^{2}+(y+7)^{2}=625$ jest styczny do okręgu o środku $S=(12,5)$ i promieniu $r$. Wynika stąd, że

Liczba $\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^{2}}$ jest równa

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}$, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$, poprowadzonej w punkcie $A=\left(6,\dfrac{36}{5}\right)$ tego wykresu. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności, pierwszą i drugą cyfrę po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

W trójkącie $ABC$ kąt $BAC$ jest dwa razy większy od kąta $ABC$. Wykaż, że prawdziwa jest równość $|BC|^{2}-|AC|^{2}=|AB|\cdot|AC|$.

Udowodnij, że dla dowolnego kąta $\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ prawdziwa jest nierówność $$\sin\left(\frac{\pi}{12}-\alpha\right)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{12}+\alpha\right)<\frac{1}{4}.$$

Wykaż, że równanie $x^{8}+x^{2}=2\left(x^{4}+x-1\right)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x=1$.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru $\{0,1,3,5,7,9\}$, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.

Dany jest rosnący ciąg geometryczny $\left(a,\,aq,\,aq^{2}\right)$, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz $aq$ tego ciągu.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $\left(o_{n}\right)$ o równaniach $x^{2}+y^{2}=2^{11-n}$, $n\geq 1$. Niech $P_{k}$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznym okręgiem $o_{2k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_{k}$, gdzie $k\geq 1$.

Trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $BC$ ma długość 10, a ramię $AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $AB$ jest 2 razy dłuższa od podstawy $CD$. Oblicz pole tego trapezu.

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $ABC$ leżą na osi $Oy$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $AB$, $BC$ i $CA$ w punktach -- odpowiednio -- $P=(0,10)$, $Q=(8,6)$ i $R=(9,13)$. Oblicz współrzędne wierzchołków $A$, $B$ i $C$ tego trójkąta.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-3mx+(m+1)(2m-1)=0$$ ma dwa różne rozwiązania $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunki: $x_{1}\cdot x_{2}\neq 0$ oraz $0<\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}\leq\dfrac{2}{3}$.

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

• [a)] Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$.
• [b)] Wyznacz dziedzinę funkcji $V$.
• [c)] Oblicz tę wartość $x$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.