Matura próbna CKE grudzień 2014: matematyka

Wielomian $W\left(x\right)=2x^3-bx^2-1$ jest podzielny przez dwumian $x+1$. Wynika stąd, że

Okrąg o równaniu $\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4$ ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu

Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=x^5+5x-1$

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Każda liczba $x$ należąca do przedziału otwartego $x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{4}\right)$ spełnia nierówność

Funkcja $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $f\left(x\right)=3^{x-2}+3$. Prosta $l$ ma równanie $y=3{,}3$. Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji $f$ i prosta $l$?

Dane są liczby $a$, $b$ takie, że $a-b=4$ i $ab=7$. Oblicz $a^3b+ab^3$. Zakoduj w kratkach poniżej kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Długości boków prostokąta są równe $3$ oraz $5$. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n^2}{n+2}-\dfrac{\left(n+2\right)^2}{n+444}\right)$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 4$. Oblicz pochodną funkcji $f$ w punkcie $x=12$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f$, która jest równoległa do prostej $y=4x+7$.

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$, spełniające równanie $\sin 5x-\sin x=0$.

Niech $P_n$ oznacza pole koła o promieniu $\dfrac{1}{2^n}$, dla $n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $\left(P_n\right)$.

Wykaż, że jeżeli $a>b\ge 1$, to $\dfrac{a}{2+a^3}<\dfrac{b}{2+b^3}$.

Wykaż, że jeżeli $\alpha,\beta,\gamma$ są kątami wewnętrznymi trójkąta i $\sin^2\alpha+\sin^2\beta<\sin^2\gamma$, to $\cos\gamma<0$.

Punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ prostokąta $ABCD$, w którym $AB>BC$. Punkt $F$ leży na boku $CD$ tego prostokąta oraz $\sphericalangle AEF=90^{\circ}$. Udowodnij, że $\sphericalangle BAE=\sphericalangle EAF$.

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę'', pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę''.

Dany jest okrąg $o_0$ o równaniu $\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=1$. W pierwszej „ćwiartce'' układu współrzędnych istnieją dwa okręgi $o_1$, $o_2$ styczne zewnętrznie do okręgu $o_0$ i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów $o_1$ oraz $o_2$.

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po $4$ dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.