Przykładowy arkusz CKE (formuła 2015): matematyka

Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ określony wzorem $$a_n=\frac{3}{\left(\sqrt{2}\right)^{n}}\quad\text{dla } n=1,2,3,\ldots\,.$$ Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Liczba $\dfrac{27^{665}\cdot\sqrt[3]{3^{-92}}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{152}{3}}}$ jest równa

Okrąg $o_1$ ma równanie $x^2+\left(y-1\right)^2=25$, a okrąg $o_2$ ma równanie $\left(x-1\right)^2+y^2=9$. Określ wzajemne położenie tych okręgów.

A. Te okręgi przecinają się w dwóch punktach.

B. Te okręgi są styczne.

C. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg $o_1$ leży w całości wewnątrz okręgu $o_2$.

D. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg $o_2$ leży w całości wewnątrz okręgu $o_1$.

Dla każdego $\alpha$ suma $\sin\alpha+\sin 3\alpha$ jest równa

Liczba $n$ jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie $$2\cdot\left|x+57\right|=\left|x-39\right|.$$ Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby $\left|n\right|$.

Oblicz granicę ciągu $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2-5n+2}{\left(8n+7\right)\left(n+4\right)}$.

Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $$f\left(x\right)=\frac{x-8}{x^2+6}$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie $x=\dfrac{1}{2}$.

Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Oblicz $\log_3\sqrt[4]{27}-\log_3\left(\log_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\right)$.

Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Punkty $P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{23},P_{24}$ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P_{11}P_{22}$ i $P_1P_{16}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $m$ prawdziwa jest nierówność $$20x^2-24mx+18m^2\ge 4x+12m-5.$$

Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: $0,1,2,3,4,5,6$. Prawdopodobieństwo $p_k$ otrzymania liczby $k$ jest dane wzorem: $p_k=\dfrac{1}{64}\cdot\dbinom{6}{k}$.

Rozważamy dwa zdarzenia:

• zdarzenie $A$ polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru $\left\{1,3,5\right\}$,
• zdarzenie $B$ polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru $\left\{2,3,4,5,6\right\}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których prosta o równaniu $y=mx+\left(2m+3\right)$ ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie $S=\left(0,0\right)$ i promieniu $r=3$.

Dana jest parabola o równaniu $y=x^2+1$ i leżący na niej punkt $A$ o współrzędnej $x$ równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie $A$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę $\alpha>45^{\circ}$ (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Punkty $M$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $AC$ trójkąta $ABC$, przy czym zachodzą równości $\left|MB\right|=2\cdot\left|AM\right|$ oraz $\left|LC\right|=3\cdot\left|AL\right|$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia odcinków $BL$ i $CM$. Punkt $K$ jest punktem przecięcia półprostej $AS$ z odcinkiem $BC$ (zobacz rysunek).

Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).