Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $$x$$. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku. [a)] Wyznacz objętość $$V$$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $$x$$. [b)] Wyznacz dziedzinę funkcji $$V$$. [c)] Oblicz tę wartość $$x$$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $$V$$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Matura próbna CKE kwiecień 2020, zadanie 15: optymalizacja

Matura próbna CKE kwiecień 2020 · zadanie 15otwarte · 0-7 pktDział: Zadania optymalizacyjne

Ćwicz dalej🎲Generator zadań CKE605 zadań · 8 losowań za darmo · bez limitu 79 zł Zbiór zadań PDF605 zadań z rozwiązaniami · 99 zł

Zadanie 15. (0–7)[matura próbna CKE kwiecień 2020]

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$ . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

[a)] Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$ .
[b)] Wyznacz dziedzinę funkcji $V$ .
[c)] Oblicz tę wartość $x$ , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

✓Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź

✓

ODPOWIEDŹ

V(x)=8\left(11x^{2}-3x^{3}\right)

; b)

D_{V}=\left(0,\frac{5}{2}\right]

; c) szkielet jest najcięższy dla

x=\frac{22}{9}

, a największa objętość drewna wynosi

\frac{42\,592}{243}=175\frac{67}{243}

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. (a) Wyznaczamy objętość szkieletu🔒

Krok 2. (b) Wyznaczamy dziedzinę🔒

Krok 3. (c) Pochodna i jej miejsce zerowe🔒

Krok 4. (c) Badamy znak pochodnej -- uzasadniamy maksimum🔒

Krok 5. (c) Obliczamy największą objętość🔒

Odblokuj rozwiązanie krok po kroku

Zaloguj się (konto Google - jedno kliknięcie) i odblokuj za darmo rozwiązania 8 zadań na 3 dni. Bez limitu - generator zadań: wszystkie kroki tego i 605 innych zadań CKE (matura z matematyki, poziom rozszerzony), z wyjaśnieniami „Dlaczego?" i odwołaniami do karty wzorów, do 31 maja 2027 r.

Zaloguj się i odblokuj za darmo Bez limitu za 79 zł8 darmowych odsłon na 3 dni liczy się razem z losowaniami w generatorze · płatność jednorazowa BLIK-iem, bez subskrypcji

Wolisz uczyć się z PDF-a? Zbiór zadań z rozwiązaniami (605 zadań z rozwiązaniami) za 99 zł, a w pakiecie z generatorem za 149 zł.

Przećwicz podobne zadania w generatorzeLosuj zadania z działu Zadania optymalizacyjne, sprawdzaj odpowiedzi i wracaj do pomyłek w teczce błędów. Z darmowym kontem masz 8 losowań na 3 dni.

Otwórz generator →