Arkusz pokazowy CKE marzec 2022: matematyka

Dane są liczby $a=\log_2 3$ oraz $b=\log_3 7$.

Wyraź $\log_4 49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$.

Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(-3,-3)$.

Zapisz obliczenia.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $7$, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $8$.

Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność $$\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0{,}001$$ gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Zapisz obliczenia.

Dane jest równanie $$(x-6)\cdot\left[(m-2)x^2-4(m+3)x+m+1\right]=0$$ z niewiadomą $x$ i parametrem $m\in\mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zapisz obliczenia.

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez $4$ jest liczbą podzielną przez $36$.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek). Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x)=x^2$ oraz $g(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+4$. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$.

Wykaż, że odległość punktu $R$ od punktu $P$ wyraża się wzorem $$|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}$$ gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek). Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x)=x^2$ oraz $g(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+4$. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$.

Oblicz współrzędne punktu $K$, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$ toru od początku $P$) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem $$|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}$$ gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Rozwiąż równanie $$\sin(3x)=2\sin x$$ w zbiorze $[0,\pi]$.

Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o obwodzie $l$ i podstawach $AB$ oraz $CD$ takich, że $|AB|>|CD|$. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna $AC$ trapezu ma długość $d$ (zobacz rysunek).

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $A=(9,12)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$. Prosta $k$ o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x$ zawiera dwusieczną kąta $ABC$ tego trójkąta. Okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x-8)^2+(y-4)^2=16$ jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $\mathcal{O}$.

Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2\alpha$. Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k\cdot P^3\cdot\sin\alpha\cdot\cos(2\alpha)}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik $k$.

Zapisz obliczenia.

Egzamin składa się z $15$ zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej $11$ zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.

Zapisz obliczenia.