Matura próbna CKE grudzień 2022: matematyka

Oblicz $$\frac{\log_3 5\cdot\log_{25}27}{\log_7\sqrt[6]{49}}$$ Zapisz obliczenia.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=\left|-\dfrac{1}{4}x^2+3x-5\right|$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$. Fragment wykresu funkcji $g$ w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Zapisz obliczenia.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=\left|-\dfrac{1}{4}x^2+3x-5\right|$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$. Fragment wykresu funkcji $g$ w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ oraz dla każdej liczby rzeczywistej $y$, spełniających warunek $x+y\ge 1$, prawdziwa jest nierówność $$x^3+2xy+y^3\ge x^2+xy(x+y)+y^2$$

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona $200$ g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż $200$ g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe $0{,}1$. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo $20$ torebek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych $20$ losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.

Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Rozwiąż równanie $$6\sin x+2\sqrt{3}\cos x+3\,\mathrm{tg}\,x+\sqrt{3}=0$$ Zapisz obliczenia.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki $BC$, $AC$ i $AB$ tego trójkąta w punktach -- odpowiednio -- $K$, $L$ oraz $M$. Punkt $P$ jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach $CLPK$ oraz $BKPM$ można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej $480$ litrów i nie może przekroczyć $530$ litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji $(480+x)$ litrów dziennie przeciętny koszt $K$ (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy $$K(x)=\frac{22x^2-621{,}5x+23\,430}{480+x},\ \text{gdzie}\ x\in[0,50].$$ Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $$\frac{x-1}{x^2-4}-\frac{1}{2-x}\ge\frac{3}{2+x}+2$$ Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2-(m-4)x+m^2-7m+12=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunek $$x_1^3+x_2^3<5x_1^2\cdot x_2+5x_1\cdot x_2^2$$ Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$. Przez krawędź $BC$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej $SAD$.

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę $\pi$ i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|>|CD|$ oraz ramię $BC$ ma długość $6$. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu $R=5$. Miary kątów $BAC$ i $ABC$ tego trapezu spełniają warunek $$\frac{\sin|\sphericalangle BAC|}{\sin|\sphericalangle ABC|}=\frac{5}{8}$$ Oblicz pole i obwód trapezu $ABCD$.

Zapisz obliczenia.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Prosta $k$ o równaniu $x+y-9=0$ przecina parabolę o równaniu $y=\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{4}$ w punktach $A$ oraz $B$. Pierwsza współrzędna punktu $A$ jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu $B$ jest liczbą ujemną. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i styczna do danej paraboli w punkcie $C$.

Oblicz odległość punktu $C$ od prostej $k$ oraz pole trójkąta $ABC$.

Zapisz obliczenia.