Matura próbna CKE grudzień 2024: matematyka

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością $$Q(t)=Q_{0}\cdot\beta^{-t}\quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$Q_{0}$ -- ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej ($t=0$) wyrażony w milikulombach
$Q$ -- ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili $t$ (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach
$\beta$ -- stała dodatnia
$t$ -- czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili $t=4$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili $t=6$ s -- ładunek 18 milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili $t=5$ s. Zapisz obliczenia.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0<|AM|<|AN|<|AB|$.

Wykaż, że jeśli $|AM|=|BN|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi\left(\sqrt{3}+1\right)$.

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że $$\frac{1}{\log_{2}35+1}+\frac{1}{\log_{7}140-\log_{7}2}+\frac{1}{\log_{5}7+\log_{5}2+1}=1$$

W pewnej lokalnej społeczności $35\%$ osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada $70\%$ osób mających wyższe wykształcenie i $40\%$ osób bez wyższego wykształcenia.
Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$|4x-8|+|x-2|=|2-x|+|x+2|+4$$ Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są: okrąg o równaniu $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=50$ i punkty $A=(6,4)$ oraz $B=(-6,8)$. Punkt $C$ leży na tym okręgu i $|AC|=|BC|$.

Oblicz współrzędne punktu $C$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę $$\lim_{n\to+\infty}\frac{1+3+5+7+\ldots+(2n+1)}{\dbinom{n}{2}}$$ gdzie $1+3+5+7+\ldots+(2n+1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin^{4}x=\sin x\cdot\cos x-\cos^{4}x$$ w zbiorze $[-\pi,2\pi]$. Zapisz obliczenia.

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, spełniają warunek $a_{3}+a_{5}=10$.
Trzywyrazowy ciąg $\left(2a_{1}+4,\ a_{4}-1,\ -\dfrac{1}{8}a_{7}\right)$ jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określona wzorem $$f(x)=x^{2}-3x-m^{2}+m+3$$ Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|\leq 12$. Zapisz obliczenia.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ miara kąta $BAC$ jest dwa razy większa od miary kąta $ABC$. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta $ABC$, natomiast $\beta$ -- miarę kąta $ADC$ (zobacz rysunek).

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty,8)$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:

• wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$
• wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią -- odpowiednio -- $Ox$ i $Oy$
• wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$

Pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem $$P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^{2}-56}{x-8}$$ dla $x\in(0,7)$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$, dla których pole czworokąta $OBCD$ jest największe. Zapisz obliczenia.