Arkusz pokazowy CKE marzec 2022, zadanie 6.2: optymalizacja

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek). Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x)=x^2$ oraz $g(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+4$. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$.

Oblicz współrzędne punktu $K$, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$ toru od początku $P$) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem $$|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}$$ gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.