Matura rozszerzona czerwiec 2025 (termin dodatkowy): matematyka

Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe $0{,}02$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że spośród $10$ pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie uszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że jeżeli $a=\log_2 14$ oraz $b=\log_{\sqrt{2}} 27$, to $\log_7 54=\dfrac{b+2}{2a-2}$.

Rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od $5$.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych. Zapisz obliczenia.

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB|=2\cdot|AD|$. Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ oraz $DA$ tego prostokąta obrano punkty -- odpowiednio -- $K$, $L$, $M$ oraz $N$ (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta $ABCD$). Czworokąt $KLMN$ jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość $LM$ tego trapezu jest równoległa do przekątnej $BD$ prostokąta.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2+2mx+2m-1=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $$m\left(x_1^2+x_2^2\right)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2$$ Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0$$ w przedziale $[0,\pi]$. Zapisz obliczenia.

Na czworokącie wypukłym $ABCD$ o bokach długości: $|AB|=3$, $|BC|=3$, $|CD|=5$ oraz $|DA|=8$, opisano okrąg.

Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

Wielomian $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określony wzorem $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, gdzie $a,b,c\in\mathbb{R}$. Liczba $(-2)$ jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ styczna do wykresu wielomianu $f$ w punkcie $A$ o pierwszej współrzędnej równej $(-2)$ przecina ten wykres w punkcie $P=(1,9)$.

Wyznacz wzór wielomianu $f$. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu $a_6=15$ oraz $a_{15}=a_3\cdot(a_8-6)$.
Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i $b_1=a_{11}$ oraz $b_2=a_6$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(b_n)$. Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCD$ o podstawie $ABC$. Płaszczyzna zawierająca krawędź $AB$ podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej $CD$ przecina tę krawędź w punkcie $E$, przy czym $\dfrac{|CE|}{|DE|}=\dfrac{3}{11}$.

Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy $ABC$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$ o wierzchołkach $A=(-8,-1)$ i $D=(-13,9)$ oraz środku symetrii $M=\left(-\dfrac{9}{2},1\right)$. Okrąg $\mathcal{O}$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki $AB$ i $BC$ tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $\mathcal{O}$ jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu $\mathcal{O}$. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym $24\sqrt{3}$.

Wykaż, że objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określona wzorem $$V(a)=6a-\dfrac{1}{8}a^3$$

Objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określona wzorem $$V(a)=6a-\dfrac{1}{8}a^3$$ dla $a\in\left(0,4\sqrt{3}\right)$.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.