Matura rozszerzona czerwiec 2024 (termin dodatkowy): matematyka

W chwili początkowej ($t=0$) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa $m$ związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością $$m(t)=a\cdot 2^{-0{,}05\cdot t}+b \quad\text{dla}\quad t\geq 0$$ gdzie:
$m$ -- masa związku A wyrażona w gramach,
$t$ -- czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili $t=0$),
$a,\,b$ -- współczynniki liczbowe.

Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili $t=0$) była równa $m_{0}$ gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy $t\to\infty$) masa tego związku była równa $\dfrac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).

Oblicz granicę $$\lim_{x\to 3^{-}}\frac{|x-3|}{x^{2}-9}$$ Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 4$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(x_{0},5)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ i każdej liczby dodatniej $b$ takich, że $a+b=1$, prawdziwa jest nierówność $$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{a+2b}\geq\frac{4}{3}$$

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe $a$ oraz $b$, przy czym $a>b$. W ten trapez można wpisać okrąg.

Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od $a\cdot b$.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ o numerach nieparzystych jest równa 16, tj. $$a_{1}+a_{3}+a_{5}+\ldots=16$$ Ponadto $a_{1}+a_{3}=\dfrac{5}{2}\cdot a_{2}$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$--ty wyraz ciągu $(a_{n})$. Zapisz obliczenia.

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa 6. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.

Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin(6x)+\sqrt{3}\cdot\sin(5x)+\sin(4x)=0$$ Zapisz obliczenia.

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $3x+y+2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=x^{2}-2x-8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\dfrac{1}{2}x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$(3-m)\cdot x^{2}+(m+1)\cdot x-(m+1)^{2}=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające warunek $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7$$ Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.

Wykaż, że objętość $V$ każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości $R$ promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem $$V(R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(6R^{2}-R^{3}\right)$$

Objętość $V$ ostrosłupa w zależności od długości $R$ promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem $$V(R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(6R^{2}-R^{3}\right)$$ dla $R\in(0,6)$.

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.