Matura rozszerzona czerwiec 2023 (termin dodatkowy): matematyka

Dane są liczby $$a=4^{\log_{2}45}\quad\text{oraz}\quad b=\frac{\log_{3}2023}{\log_{9}2023}$$ Oblicz $a-b$.

Wśród $n$ osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te $n$ osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest $12$ razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych $n$ osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).

Oblicz $n$. Zapisz obliczenia.

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe $0{,}1$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+9x$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$. Punkt $P=(x_{0}\,,18)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność $$a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12$$

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach -- odpowiednio -- $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek).

Dany jest nieskończony szereg geometryczny $$2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18x}{(x-1)^{2}}-\frac{54x}{(x-1)^{3}}+\ \ldots$$ Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $x$ (różnej od $0$ i od $1$), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\dfrac{15}{2}$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin(5x)+\cos x=0$$ w zbiorze $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$. Zapisz obliczenia.

W okrąg o równaniu $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ wpisano trójkąt $ABC$. Bok $AB$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4x-3y+2=0$. Wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ tak, że $|AD|=4\cdot|DB|$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$mx^{2}-(m+1)x-2m+3=0$$ ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunki: $$x_{1}\neq 0,\quad x_{2}\neq 0\quad\text{oraz}\quad \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}<1$$ Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a,b,c)$ jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg $(2a,2b,c+1)$ jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek $c-b=6$.

Oblicz $a$, $b$ oraz $c$. Zapisz obliczenia.

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $4$. Kąty $BAD$ i $BCD$ są proste (zobacz rysunek). Przekątne $AC$ i $BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$ tak, że $|BE|=3\cdot|DE|$ oraz $|BD|=2\cdot|AE|$.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne $ABCDEFGH$, w których odcinek łączący punkt $O$ przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ podstawy $ABCD$ z dowolnym wierzchołkiem podstawy $EFGH$ ma długość $d$ (zobacz rysunek).

Zapisz obliczenia.