Matura rozszerzona czerwiec 2022 (termin dodatkowy): matematyka

Wiadomo, że $\log_5 2=a$ i $\log_5 3=b$. Wtedy liczba $\log_{18}40$ jest równa

Granica $\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{0{,}5x^2+3{,}5x+6}{-x^2+2x+15}$ jest równa

Sumą wektorów $\vec{a}=\left[2+2m,\ \dfrac{2}{3}n+1\right]$ oraz $\vec{b}=[n+1,\ m+2]$ jest wektor $\vec{c}=[0,0]$. Wynika stąd, że

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach $5$ i $8$ jest równe $12$. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Wśród $390$ pracowników pewnej firmy jest $150$ kobiet i $240$ mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest $21$ kobiet i $43$ mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym -- pod warunkiem że jest mężczyzną.

W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq y$, spełniona jest nierówność $$x^4+y^4>xy\left(x^2+y^2\right)$$

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $$\frac{3x+1}{2x+1}\le\frac{3x+4}{2x+3}$$

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przez punkt $O$ przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków $BC$ i $AD$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina bok $AB$ w punkcie $B'$, a prosta równoległa do boku $AD$ przecina bok $AB$ w punkcie $A'$. Wykaż, że $|AA'|=|BB'|$.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $|q|<1$. Stosunek sumy $S_N$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_P$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\dfrac{S_N}{S_P}=S_N-S_P$. Oblicz $q$.

Rozwiąż równanie $\cos(3x)+\sqrt{3}\sin(3x)+1=0$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest trapez równoramienny $ABCD$ wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$. Dłuższa podstawa $AB$ trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza -- cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze $2\alpha$ (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia $R$ i miary kąta $\alpha$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$(x-4)\left[x^2+(m-3)x+m^2-m-6\right]=0$$ ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ oraz $x_3$, spełniające warunek $$x_1\cdot x_2\cdot x_3>x_1^2+x_2^2+x_3^2-5m-51$$

Dane są okrąg $o_1$ o równaniu $(x-6)^2+(y-4)^2=98$ oraz okrąg $o_2$ o promieniu $2\sqrt{5}$. Środki okręgów $o_1$ i $o_2$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y=-3x-6$, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$. Wyznacz równanie okręgu $o_2$.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne $ABC$ ($|AC|=|BC|$), na których opisano okrąg o promieniu $R=1$. Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$ trójkąta.

a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $x$, wyraża się wzorem $P(x)=(x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}$.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długość odcinka $x$ tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.