Matura rozszerzona czerwiec 2021 (termin dodatkowy): matematyka

Wartość wyrażenia $\left(\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}\right)^{3}$ jest równa

Granice $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^{2}+bn+4}{n+1}$ i $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{an^{2}+bn+4}$ są równe. Stąd wynika, że

Wektory $\vec{a}=[m-2,\,m+2]$ oraz $\vec{b}=\left[m^{1{,}5},\,2^{1{,}5}\right]$ mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Wynikiem dzielenia wielomianu $5x^{3}-7x^{2}-4x-4$ przez dwumian $x-2$ jest trójmian kwadratowy postaci $ax^{2}+bx+c$.

W poniższe kratki wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.

Niech $\log_{2}9=c$. Wykaż, że $\log_{3}54=\dfrac{3c+2}{c}$.

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano -- odpowiednio -- punkty $G$ i $H$ tak, że $DG\parallel EC$ oraz $FH\parallel EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $FBH$ jest równe $S$, to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$.

Rozwiąż równanie $2\cos^{2}x-\cos x=\sin(2x)-\sin x$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Dane są prosta $k$ o równaniu $x-2y=0$ i prosta $l$ o równaniu $2x+y-1=0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y=x+4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe $\dfrac{1}{15}$. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$(x-3)\left(x^{2}+(m-1)x-6m^{2}+2m\right)=0$$ ma dokładnie dwa rozwiązania.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\dfrac{x^{3}+k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y=-x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

Na okręgu jest opisany czworokąt $ABCD$. Bok $AD$ tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku $AB$, a przekątna $BD$ ma długość równą $6$. Ponadto spełnione są następujące warunki: $$\cos(\sphericalangle ADB)=\frac{7}{8},\qquad |\sphericalangle BCD|=90^{\circ}\qquad\text{oraz}\qquad |AB|>\sqrt{15}.$$ Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x=|AC|$.

a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem $$P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}$$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.