Matura rozszerzona lipiec 2020 (termin dodatkowy): matematyka

Wielomian $W(x)=x^{3}-x^{2}-x-2$ jest podzielny bez reszty przez wielomian

Granica $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^{3}+8}{x^{2}-4}-x\right)$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}+1}$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Pochodna $f'$ tej funkcji jest określona wzorem

Wyrażenie $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$ jest równe

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\geq 1$, jest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz ciągu $(a_{n})$.

W kratki poniżej wpisz kolejno -- od lewej do prawej -- cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych otrzymanego wyniku.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$, określonego dla $n\geq 1$, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{n}=3\cdot a_{n+1}+n^{2}$. Oblicz sumę $a_{1}+a_{2}+a_{3}$.

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty $A$, $B$, $C$ i $D$. Wykaż, że jeżeli $|\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|$, to $|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle BDC|$.

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^{5}-3n^{4}-n+3$ jest podzielne przez 16.

Rozwiąż równanie $4\sin^{3}x+\sin 2x=2\sin^{2}x\cdot(2\cos x+1)$.

Dla pewnych liczb rzeczywistych $a>1$, $b>1$ i $N>1$ jest spełniona równość $$\log_{a^{2}b}N=\frac{3}{20}\cdot\left(\log_{a}N+\log_{b}N\right).$$ Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia $\log_{a}b$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których nierówność $$\left(m^{2}+4m-5\right)\cdot x^{2}+2x>2mx-2$$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu równym $82{,}5$. Przekątna $BD$ tego rombu zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28.

Dany jest romb $ABCD$. Przez wierzchołki $B$ i $D$ poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki $CD$ i $AB$ -- odpowiednio -- w punktach $M$ i $N$, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury $AND$, $NBMD$, $BCM$ o równych polach. Ponadto wiadomo, że $|MB|=|ND|=|BD|$ (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa $d$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.