Matura rozszerzona czerwiec 2019 (termin dodatkowy): matematyka

Parametr $m$ dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania $$\left(4-m^{2}\right)\cdot x=m^{2}-3m+2$$ z niewiadomą $x$. Wynika stąd, że

Dane są trzy niewspółliniowe punkty: $A=(1,1)$, $B=(6,3)$, $C=(4,5)$. Ile jest wszystkich punktów $D$ takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach $A$, $B$, $C$, $D$ jest równoległobokiem?

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Wiadomo, że wielomian $15x^{5}-133x^{4}+383x^{3}-499x^{2}+146x+120$ ma w zbiorze $\left\{\dfrac{7}{6},\ \dfrac{6}{5},\ \dfrac{8}{7},\ \dfrac{9}{5}\right\}$ dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony w następujący sposób: $a_{1}=\dfrac{3}{5}$ oraz $a_{n+1}=\dfrac{2}{3}\cdot a_{n}$ dla $n\geq 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

W urnie znajduje się 16 kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest 10 kul białych i 6 kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych. Wpisz w poniższe kratki -- od lewej do prawej -- trzy kolejne cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\dfrac{25x^{2}-9}{x^{2}+2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość $f'(10)$ pochodnej tej funkcji dla argumentu 10.

Dwusieczne kątów $BAD$ i $BCD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $E$, przy czym punkty $B$ i $E$ leżą po przeciwnych stronach prostej $AC$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^{5}-3n^{4}-n+19$ jest podzielne przez 16.

Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest o $2^{\circ}$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+2)$-kąta foremnego. Oblicz $n$.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości 6. Na krawędziach bocznych $BS$ i $CS$ wybrano punkty, odpowiednio $D$ i $E$, takie że $|BD|=|CE|$ oraz $|DE|=4$ (zobacz rysunek). Płaszczyzna $ADE$ jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej $BCS$ ostrosłupa.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$4x^{2}+(2-4m)\,x+m^{2}-m-2=0$$ ma dwa różne dodatnie rozwiązania $x_{1}$, $x_{2}$ spełniające nierówność $x_{1}^{\,2}+x_{2}^{\,2}\leq\dfrac{17}{4}$.

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu 90. Przekątna $BD$ zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$. Wyznacz długość boku tego rombu.

Rozwiąż równanie $4\sin 7x\cos 2x=2\sin 9x-1$ w przedziale $\langle 0,\pi\rangle$.

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_{1}$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_{2}$ i promieniu $2x$, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

• rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
• obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu 18;
• punkty: $S$, $S_{1}$, $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Zapisz pole trójkąta $SS_{1}S_{2}$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.