Dany jest okrąg o środku $$S$$ i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $$S_{1}$$ i promieniu $$x$$ oraz drugi o środku $$S_{2}$$ i promieniu $$2x$$, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki: rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie; obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $$S$$ i promieniu 18; punkty: $$S$$, $$S_{1}$$, $$S_{2}$$ nie leżą na jednej prostej. Pole trójkąta o bokach $$a$$, $$b$$, $$c$$ można obliczyć ze wzoru Herona $$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, gdzie $$p$$ – jest połową obwodu trójkąta. Zapisz pole trójkąta $$SS_{1}S_{2}$$ jako funkcję zmiennej $$x$$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Matura rozszerzona czerwiec 2019, zadanie 15: optymalizacja

Matura rozszerzona czerwiec 2019 · zadanie 15otwarte · 0-7 pktDział: Zadania optymalizacyjne

Ćwicz dalej🎲Generator zadań CKE605 zadań · 8 losowań za darmo · bez limitu 79 zł Zbiór zadań PDF605 zadań z rozwiązaniami · 99 zł

Zadanie 15. (0–7)[matura rozszerzona czerwiec 2019, arkusz CKE]

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_{1}$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_{2}$ i promieniu $2x$ , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu 18;
punkty: $S$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach

a

b

c

można obliczyć ze wzoru Herona

P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

, gdzie

p

-- jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta $SS_{1}S_{2}$ jako funkcję zmiennej $x$ . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

✓Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź

✓

ODPOWIEDŹ

P(x)=6x\sqrt{18-3x}

dla

x\in(0,6)

; największe pole ma trójkąt o bokach

14

10

12

i jest ono równe

24\sqrt{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Model -- boki trójkąta

SS_{1}S_{2}

🔒

Krok 2. Dziedzina🔒

Krok 3. Pole jako funkcja zmiennej

x

(wzór Herona)🔒

Krok 4. Maksimum -- badamy kwadrat pola🔒

Krok 5. Boki i największe pole🔒

W rozwiązaniu jest 1 dodatkowe wyjaśnienie „Dlaczego?".

Odblokuj rozwiązanie krok po kroku

Zaloguj się (konto Google - jedno kliknięcie) i odblokuj za darmo rozwiązania 8 zadań na 3 dni. Bez limitu - generator zadań: wszystkie kroki tego i 605 innych zadań CKE (matura z matematyki, poziom rozszerzony), z wyjaśnieniami „Dlaczego?" i odwołaniami do karty wzorów, do 31 maja 2027 r.

Zaloguj się i odblokuj za darmo Bez limitu za 79 zł8 darmowych odsłon na 3 dni liczy się razem z losowaniami w generatorze · płatność jednorazowa BLIK-iem, bez subskrypcji

Wolisz uczyć się z PDF-a? Zbiór zadań z rozwiązaniami (605 zadań z rozwiązaniami) za 99 zł, a w pakiecie z generatorem za 149 zł.

Przećwicz podobne zadania w generatorzeLosuj zadania z działu Zadania optymalizacyjne, sprawdzaj odpowiedzi i wracaj do pomyłek w teczce błędów. Z darmowym kontem masz 8 losowań na 3 dni.

Otwórz generator →