Równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe - zadania maturalne

Dane są punkty $A=(-4,\,0)$ i $M=(2,\,9)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y=-2x+10$. Wierzchołek $B$ trójkąta $ABC$ to punkt przecięcia prostej $k$ z osią $Ox$ układu współrzędnych, a wierzchołek $C$ jest punktem przecięcia prostej $k$ z prostą $AM$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

W układzie współrzędnych są dane punkty $A=(-43,\,-12)$ i $B=(50,\,19)$. Prosta $AB$ przecina oś $Ox$ w punkcie $P$. Oblicz pierwszą współrzędną punktu $P$.

Punkty $A=\left(-2,\,6\right)$ oraz $B=\left(3,\,b\right)$ leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wtedy $b$ jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-\dfrac{1}{3}x+2$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2,\,-2)$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $$\begin{aligned}k&:\ y=(m+1)x+7\\l&:\ y=-2x+7\end{aligned}$$ Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach $$k\colon\ y=\frac{2}{3}x$$ $$l\colon\ y=-\frac{3}{2}x+13$$ Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Proste $k$ oraz $l$

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $$y=-\frac{1}{3}x+2$$ Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $P=(3,\,5)$, gdy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta przechodząca przez punkty $A=(3,\,-2)$ i $B=(-1,\,6)$ jest określona równaniem

Dane są cztery proste $k$, $l$, $m$, $n$ o równaniach:

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $$k:\ y=\left(m-2\right)x+5$$
$$l:\ y=-4x+\left(m+3\right)$$ Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste o równaniach $y=\left(2m+2\right)x-2019$ oraz $y=\left(3m-3\right)x+2019$ są równoległe, gdy

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkt $C=(0,\,2)$ jest wierzchołkiem trapezu $ABCD$, którego podstawa $AB$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=2x-4$. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę $CD$.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu $3x-6y+7=0$.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta $k$ ma równanie $y=2x-3$. Wskaż równanie prostej $l$ równoległej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $D$ o współrzędnych $(-2,\,1)$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta o równaniu $y=-2x+\left(3m+3\right)$ przecina w układzie współrzędnych oś $Oy$ w punkcie $(0,\,2)$. Wtedy

Punkty $B=(0,10)$ i $O=(0,0)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego $OAB$, w którym $|\angle OAB|=90^{\circ}$. Przyprostokątna $OA$ zawiera się w prostej o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne punktu $A$ i długość przyprostokątnej $OA$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dane są punkty $M=(3,\,-5)$, $N=(-1,\,7)$. Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ punkty $A=(0,\,-6)$, $B=(4,\,2)$ oraz $C=(0,\,4)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Bok $AB$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $D=(6,\,19)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x+9$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y=4x-5$. Punkt $K=(10,\,14)$ jest środkiem odcinka $AB$. Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$.
Oblicz współrzędne punktu $S$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $$k:\ y=\left(3-m\right)x+5$$
$$l:\ y=\left(m+3\right)x-4$$ Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y=5x+7$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,\,-4)$. Punkt o współrzędnych $(p,\,2)$ należy do prostej $l$.
Oblicz $p$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S=(9,\,11)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x-1$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y=2x-4$.
Oblicz współrzędne wierzchołka $B$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $$\begin{aligned}k&:\ y=(3m-2)x-2\\l&:\ y=(2m+4)x+2\end{aligned}$$ Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$, punkt $(-8,\,6)$ jest punktem przecięcia prostych o równaniach

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ dane są prosta $k$ o równaniu $y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{7}{4}$ oraz punkt $P=(12,\,-1)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta przechodząca przez punkt $P$ i równoległa do prostej $k$ ma równanie

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ proste o równaniach:

• $y=\sqrt{3}x+6$
• $y=-\sqrt{3}x+6$
• $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x-2$,

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,\,y)$ prosta o równaniu $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $A=(-3,\,-1)$ oraz $B=(4,\,3)$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy

Proste o równaniach $y=\dfrac{2}{3}x-3$ oraz $y=\left(2m-1\right)x+1$ są prostopadłe, gdy

Obrazem prostej o równaniu $y=2x+5$ w symetrii osiowej względem osi $Ox$ jest prosta o równaniu

Proste o równaniach $y=-\dfrac{5}{4}x-2$ oraz $y=\dfrac{4}{2m-1}x+1$ są prostopadłe. Wynika stąd, że

Proste o równaniach $y=-3x+\dfrac{1}{3}$ oraz $y=\dfrac{1}{3}x-3$ przecinają się w punkcie $P=\left(x_{0},\,y_{0}\right)$. Wynika stąd, że

Punkt $A=\left(1,\,-3\right)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Punkt $S=\left(5,\,-1\right)$ jest środkiem odcinka $AB$. Wierzchołek $C$ tego trójkąta leży na prostej o równaniu $y=x+10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=-2x+16$. Wierzchołki $B$ i $C$ mają współrzędne $B=(3,\,10)$ i $C=(-2,\,3)$. Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ i pole trójkąta $ABC$.

Punkty $A=(-1,\,1)$ i $C=(1,\,9)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Podstawa $AB$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Punkty $A=(-2,\,-8)$ i $B=(14,\,-8)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AB|=|AC|$. Wysokość $AD$ tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x-7$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego trójkąta.