Ciąg arytmetyczny - zadania maturalne

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\geq1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy $a_{1}$, $a_{3}$, $a_{k}$ ciągu $(a_{n})$, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg -- trzywyrazowy ciąg geometryczny $(b_{n})$.
Oblicz $k$.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $\left(-1\right)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $\left(-165\right)$.
Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Informacja do zadania
Ciąg $(a_{n})$ jest określony następująco: $$\begin{cases}a_{1}=2\\a_{n+1}=2a_{n}+1\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej } n\geq1.$$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F -- jeśli jest fałszywe.

Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg $$\left(2m+11,\ m^{2}+3,\ 5-m\right)$$ jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Różnicą tego ciągu jest liczba $r=-4$, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę $k$, dla której $a_{k}=-78$.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\geq1$, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162.
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym $\left(a_{n}\right)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, $a_{1}=-1$ i $a_{4}=8$. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\geq1$, dane są: wyraz $a_{1}=8$ i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S_{3}=33$.
Oblicz różnicę $a_{16}-a_{13}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=\dfrac{5-2n}{6}$ dla $n\geq1$. Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r=-\dfrac{1}{3}$.
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r=-2$.
C. geometryczny i jego iloraz jest równy $q=-\dfrac{1}{3}$.
D. geometryczny i jego iloraz jest równy $q=\dfrac{5}{6}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

W ciągu arytmetycznym $\left(a_{n}\right)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, $a_{5}=-31$ oraz $a_{10}=-66$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Różnica tego ciągu jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ określonego dla $n\geq1$, jest spełniony warunek $a_{4}+a_{5}+a_{6}=12$. Wtedy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
W tym ciągu $a_{1}=1$ oraz $a_{5}=17$.
Dziewiąty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby 2, $-1$, $-4$ są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla liczb naturalnych $n\geq1$. Wzór ogólny tego ciągu ma postać

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $20^{\circ}$. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Ciąg $(9,\,x,\,19)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(x,\,42,\,y,\,z)$ jest geometryczny.
Oblicz $x$, $y$ oraz $z$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich. Wtedy

Liczby $x$, $y$, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym $x+y=8$.
Oblicz $x$ i $y$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ dane są: $a_{3}=13$ i $a_{5}=39$. Wtedy wyraz $a_{1}$ jest równy

Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_{n}\right)$ dla $n\geq1$, w którym $a_{7}=1$, $a_{11}=9$.

• [a)] Oblicz pierwszy wyraz $a_{1}$ i różnicę $r$ ciągu $\left(a_{n}\right)$.
• [b)] Sprawdź, czy ciąg $\left(a_{7},a_{8},a_{11}\right)$ jest geometryczny.
• [c)] Wyznacz takie $n$, aby suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ miała wartość najmniejszą.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ określonym dla $n\geq1$ dane są $a_{1}=-4$ i $r=2$. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 156?

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=32\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-5}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Ciąg $(a_{n})$ jest
A. arytmetyczny i rosnący.
B. arytmetyczny i malejący.
C. geometryczny i rosnący.
D. geometryczny i malejący.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Suma $S_{10}$ dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa 90.
Średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 10.
Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu $(a_{n})$. Zapisz obliczenia.

Informacja do zadania
Ciąg $(a_{n})$ jest określony następująco: $$\begin{cases}a_{1}=2\\a_{n+1}=a_{n}-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej } n\geq1.$$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F -- jeśli jest fałszywe.

Czterowyrazowy ciąg $(7,\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4})$ jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54.
Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Różnica tego ciągu jest równa $\left(-4\right)$ oraz $a_{10}=-24$.
Szósty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $\left(\sqrt{5},\,1,\,x\right)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $\left(\sqrt{5},\,1,\,y\right)$ jest geometryczny.
Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Informacja do zadania
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=3n^{2}-3n$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F -- jeśli jest fałszywe.

Informacja do zadania
W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, dane są wyrazy: $a_{1}=52$ oraz $a_{25}=2$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Różnica ciągu $(a_{n})$ jest równa

Informacja do zadania
W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, dane są wyrazy: $a_{1}=52$ oraz $a_{25}=2$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma $S_{25}$ dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa

Trzywyrazowy ciąg $(2m-5,\,4,\,9)$ jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, dane są wyrazy: $a_{1}=7$ oraz $a_{2}=13$.
Wyraz $a_{10}$ jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(-1,\,2,\,x)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $(-1,\,2,\,y)$ jest geometryczny.
Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Ciąg $\left(3x^{2}+5x,\ x^{2},\ 20-x^{2}\right)$ jest arytmetyczny.
Oblicz $x$. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(1,\,4,\,a+5)$ jest arytmetyczny.
Liczba $a$ jest równa

Trójwyrazowy ciąg $\left(x,\,y-4,\,y\right)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $6$. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Ciąg $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa $2$ oraz $a_{8}=48$. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

{ Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\geq1$. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $20a_{21}+62$.
Oblicz różnicę ciągu $(a_{n})$. }

W ciągu arytmetycznym $(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{39},\,a_{40})$ suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400.
Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny $(a_{n})$, określony dla liczb naturalnych $n\geq1$, o wyrazach dodatnich. Jeśli $a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k}$, to $k$ jest równe