Ciąg geometryczny - zadania maturalne

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\geq1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy $a_{1}$, $a_{3}$, $a_{k}$ ciągu $(a_{n})$, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg -- trzywyrazowy ciąg geometryczny $(b_{n})$.
Oblicz $k$.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\geq1$, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0$.
Oblicz iloraz $q$ tego ciągu należący do przedziału $\left\langle2\sqrt{2},\,3\sqrt{2}\right\rangle$.

Ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_{3}\cdot a_{6}=18$.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn $a_{2}\cdot a_{7}$ jest równy  .

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego $\left(a_{n}\right)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, są dodatnie i $9a_{5}=4a_{3}$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Informacja do zadania
Ciąg $(a_{n})$ jest określony następująco: $$\begin{cases}a_{1}=2\\a_{n+1}=2a_{n}+1\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej } n\geq1.$$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F -- jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Trzywyrazowy ciąg $(a_{1},\,a_{9},\,a_{k})$ jest geometryczny.
Oblicz $k$. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla $n\geq1$, w którym $a_{1}=\sqrt{2}$, $a_{2}=2\sqrt{2}$, $a_{3}=4\sqrt{2}$. Wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu ma postać

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\geq1$, spełniony jest warunek $a_{4}=3a_{1}$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu geometrycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\geq1$, wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek $\dfrac{a_{5}}{a_{3}}=\dfrac{1}{9}$. Iloraz tego ciągu jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=\dfrac{5-2n}{6}$ dla $n\geq1$. Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r=-\dfrac{1}{3}$.
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r=-2$.
C. geometryczny i jego iloraz jest równy $q=-\dfrac{1}{3}$.
D. geometryczny i jego iloraz jest równy $q=\dfrac{5}{6}$.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, w którym $a_{1}=27$ oraz $a_{2}=9$.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czwarty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $(12,\,6,\,2m-1)$ jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(27,\,9,\,a-1)$ jest geometryczny.
Liczba $a$ jest równa

Ciąg $(9,\,x,\,19)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(x,\,42,\,y,\,z)$ jest geometryczny.
Oblicz $x$, $y$ oraz $z$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ dane są: $a_{1}=3$ i $a_{4}=24$. Iloraz tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_{n}\right)$ dla $n\geq1$, w którym $a_{7}=1$, $a_{11}=9$.

• [a)] Oblicz pierwszy wyraz $a_{1}$ i różnicę $r$ ciągu $\left(a_{n}\right)$.
• [b)] Sprawdź, czy ciąg $\left(a_{7},a_{8},a_{11}\right)$ jest geometryczny.
• [c)] Wyznacz takie $n$, aby suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ miała wartość najmniejszą.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=32\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-5}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Ciąg $(a_{n})$ jest
A. arytmetyczny i rosnący.
B. arytmetyczny i malejący.
C. geometryczny i rosnący.
D. geometryczny i malejący.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(x,\ x+4,\ 2x+8)$, o wszystkich wyrazach dodatnich, jest geometryczny.
Iloraz tego ciągu jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pięciowyrazowy ciąg $(a_{1},\,a_{2},\,2,\,a_{4},\,a_{5})$ jest geometryczny.
Iloczyn $a_{1}\cdot a_{2}\cdot2\cdot a_{4}\cdot a_{5}$ jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg geometryczny $(a_{n})$, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{3}=-8\cdot a_{6}$.
Iloraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $\left(\sqrt{5},\,1,\,x\right)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $\left(\sqrt{5},\,1,\,y\right)$ jest geometryczny.
Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(4,\,m,\,m-1)$ jest geometryczny, gdy liczba $m$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, w którym $a_{2}=2$ oraz $a_{5}=54$.
Iloraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Informacja do zadania
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=2\cdot\left(-1\right)^{n+1}+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F -- jeśli jest fałszywe.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(-1,\,2,\,x)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $(-1,\,2,\,y)$ jest geometryczny.
Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $128$, natomiast iloraz ciągu jest równy $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F -- jeśli jest fałszywe.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$.
W tym ciągu $a_{1}=3{,}75$ oraz $a_{2}=-7{,}5$.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu $\left(a_{n}\right)$ są równe $2$. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Trójwyrazowy ciąg $\left(x,\,3x+2,\,9x+16\right)$ jest geometryczny. Oblicz $x$.

Dany jest trzywyrazowy ciąg $(x+2,\,4x+2,\,x+11)$.
Oblicz wszystkie wartości $x$, dla których ten ciąg jest geometryczny.

W ciągu geometrycznym przez $S_{n}$ oznaczamy sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych $n\geq1$. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: $S_{1}=2$, $S_{2}=12$.
Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ określonego dla $n\geq1$ są dodatnie i $3a_{2}=2a_{3}$. Stąd wynika, że iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg geometryczny $\left(x,\,2x^{2},\,4x^{3},\,8\right)$ o wyrazach nieujemnych. Wtedy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=2^{n}$ dla $n\geq1$. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_{n})$, dla $n\geq1$ taki, że $a_{5}=18$. Wyrazy $a_{1}$, $a_{3}$ oraz $a_{13}$ tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego.
Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu $(a_{n})$.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r\neq0$ i pierwszym wyrazie $a_{1}=2$. Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego.
Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg $(x+35,\,x-10,\,x+20)$ jest geometryczny. Stąd wynika, że

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ określonym dla $n\geq1$ dane są $a_{1}=5$, natomiast iloraz $q=-2$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=7\cdot3^{n+1}$, dla $n\geq1$.
Oblicz iloraz $q$ tego ciągu.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg $\left(2\sqrt{2},\,4,\,a\right)$ jest geometryczny. Wówczas