Matura rozszerzona maj 2016: matematyka

W rozwinięciu wyrażenia $\left(2\sqrt{3}\,x+4y\right)^{3}$ współczynnik przy iloczynie $xy^{2}$ jest równy

Wielomian $W(x)=6x^{3}+3x^{2}-5x+p$ jest podzielny przez dwumian $x-1$ dla $p$ równego

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej $y=f(x)$, której dziedziną jest zbiór $D=\left(-\infty,3\right)\cup\left(3,+\infty\right)$.

Funkcja $f(x)=\dfrac{3x-1}{x^{2}+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem

Granica $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(pn^{2}+4n\right)^{3}}{5n^{6}-4}=-\dfrac{8}{5}$. Wynika stąd, że

Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ określony wzorem $a_{n}=\left(\dfrac{1}{2x-371}\right)^{n}$ dla $n\geq 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ jest zbieżny.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^{2}+y^{2}=2$, prawdziwa jest nierówność $x+y\leq 2$.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Okrąg wpisany w trójkąt $BCD$ jest styczny do przekątnej $BD$ w punkcie $N$. Okrąg wpisany w trójkąt $ABD$ jest styczny do boku $AD$ w punkcie $M$, a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $MN$, jak na rysunku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których wykresy funkcji $f$ i $g$, określonych wzorami $f(x)=x-2$ oraz $g(x)=5-ax$, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $\dfrac{2\cos x-\sqrt{3}}{\cos^{2}x}<0$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=x^{2}+2(m+1)x+6m+1$. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_{1}$, $x_{2}$ tego samego znaku, spełniające warunek $\left|x_{1}-x_{2}\right|<3$.

Punkty $A=(30,32)$ i $B=(0,8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x-y+2=0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $AC$. Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry $1$, $2$, $3$, przy czym cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest $15\,360$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^{\circ}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Parabola o równaniu $y=2-\dfrac{1}{2}x^{2}$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punktach $A=(-2,0)$ i $B=(2,0)$. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne $ABCD$, których dłuższą podstawą jest odcinek $AB$, a końce $C$ i $D$ krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).