Matura rozszerzona maj 2017: matematyka

Liczba $\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^{2}$ jest równa

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem $a_{n}=\dfrac{\left(n^{2}-10n\right)\left(2-3n\right)}{2n^{3}+n^{2}+3}$ dla $n\geq 1$. Wtedy

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta $ABC$, w którym $\left|AD\right|=\left|CD\right|=\dfrac{1}{2}\left|BC\right|$ (zobacz rysunek). Okrąg o środku $C$ i promieniu $CD$ jest styczny do prostej $AB$. Okrąg ten przecina boki $AC$ i $BC$ trójkąta odpowiednio w punktach $K$ i $L$.

Dane są punkt $B=(-4,7)$ i wektor $\vec{u}=[-3,5]$. Punkt $A$, taki, że $\overrightarrow{AB}=-3\vec{u}$, ma współrzędne

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=x^{3}-2x^{2}+ax+\dfrac{3}{4}$ przez dwumian $x-2$ jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika $a$. W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(1,0)$.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $c$, długość boku $BC$ jest równa $a$ oraz $\left|\sphericalangle ABC\right|=\beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ trójkąta w punkcie $E$. Wykaż, że długość odcinka $BE$ jest równa $\dfrac{2ac\cdot\cos\dfrac{\beta}{2}}{a+c}$.

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\dfrac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$, tj. długość najkrótszego spośród odcinków $SP$, gdzie $P$ jest punktem płaszczyzny $\pi$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+3\cos x=-2$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A=(-5,3)$ i $B=(0,6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x-3y+1=0$.

Liczby $a$, $b$, $c$ są -- odpowiednio -- pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg $\left(a-2,\,b,\,2c+1\right)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $P$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.